微分中值定理应用的一个注记

　微分中值定理是《数学分析》及《高等数学》等数学课程的重要知识点之一.其应用非常的广泛，如证明不等式，判定方程根的存在性及其个数，求极限，等等.特别是将微分中值定理应用到求解函数的极限中，我们得到一种非常方便、简论文联盟http://洁、有效的方法——罗比达法则.这个法则便于我们求解型与型，以及能化成这两种类型的不定式极限.然而，大家在应用中往往会忽略罗比达法则要求导函数的极限是存在的，引申一点来说就是微分中值定理所得到的结果只是一个存在性的结论，而不是我们求极限所要得出的普遍性的、任意性的结论.本文将从几个典型的例题来论证这一问题的重要性.
　　下面我们给出微分中值定理的叙述.
　　cauchy中值定理 设函数f和g满足如下条件，
　　（ⅰ）在闭区间［a，b］上连续；
　　（ⅱ）在开区间（a，b）内可导，且?坌x∈（a，b），有g′（x）≠0，
　　则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得
　　=.
　　在cauchy中值定理中，令g（x）≡x就得到lagrange中值定理，即函数f在闭区间这［a，b］上连续且在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=.而在lagrange中值定理条件中再加一个条件f（b）=f（a）就得到roll定理，即函数f在闭区间［a，b］上连续且在开区间（a，b）内可导，且f（b）=f（a），则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=0.
　　我们把这三个定理统称为微分中值定理.在我们教材中是先给出定理，由roll定理得到lagrange中值定理，再由lagrange中值定理得到cauchy中值定理.特别是在我们利用lagrange中值定理来证明cauchy中值定理时，是利用构造辅助函数的思想，使其满足lagrange中值定理的条件，来得到cauchy中值定理的结论.而不是我们初学者往往由函数f和g均满足中值定理的条件，从而对函数f和g分别利用lagrange中值定理得到
　　f′（ξ）= （1）
　　g′（ξ）= （2）
　　再由（1）（2）式做商就得到了cauchy中值定理的结论.这里形式上是正确的，但事实上是错误的.因为lagrange中值定理的结论只是说至少存在一点，我们不能由此就得到（1）（2）式中的ξ是同一点的.我们在教学过程也着重强调了这一点，但往往在实践时还是忽略了这个问题.我们来看一下下面这个例子.
　　例1.设函数f在（a，b）内可导，且f′单调，证明f′在（a，b）内连续.
　　我在教学过程中，发现很多能做出此题的学生，竟然证明此题而没有用“导函数f′单调”这个条件.从教学经验看来，这样应该是错误的解答.我仔细看了他们的证明过程，是利用langrange中值定理来证明的，但证明是有漏洞的，就是将存在性的ξ误解为任意的都成立.他们的解法如下.
　　证明：?坌x∈（a，b）对任意的一点x∈（a，b）且x≠x，则在函数以x，x为端点的闭区间连续且可导，从而由lagrange中值定理得，在以x，x为端点的开区间内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=.
　　由于函数f在（a，b）内可导，从而对上式两边对x取极限得
　　=f′（ξ），
　　即f′（x）==f′（ξ），而当x→x时，得到ξ→x，从而有f′（x）=f′（ξ）=f′（ξ），由此我们可得到f′（x）=f′（x）.再由x的任意性知，f′在（a，b）内连续.
　　这个证明看起来是没有任何理论错误的，但事实上却犯了以偏概全的概念性错误.事实上，虽然当x→x时，得到ξ→x，从而有
　　f′（x）=f′（ξ）=f′（ξ），
　　没有任何的错误，但由此就得到f′（x）=f′（x）却是错误的.由于这里的ξ只是一个存在性的，从而ξ→x.这只能代表x→x过程中某一个趋向的极限.而极限f′（x）=f′（x）中要求对沿任何x→x的趋向极限都要存在且相等的.由函数极限的归结原则知，若是在极限f′（x）存在的条件下，我们可以x→x过程中某一个趋向的极限值来算f′（x）的值；但是不能以f′（x）在x→x过程中某一个趋向的极限存在得到f′（x）存在的.
　　我们来看一个具体函数的例子.函数f（x）=xsin，x≠00， x=0在r都是连续且可导的，但其导函数在