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微分中值定理的证明、推广以及应用
1引言
在高等数学中微分中值定理占有着非常重要的作用,微分中值定理不仅是微积分的重要结论之一,也是最基本的定论文联盟http://理之一.它不仅沟通了函数与其导数的关系,也是应用数学研究函数在区间整体性态的有力工具之一.罗尔中值定理条件最强,因而结论更加特殊,拉格朗日中值定理可以看成罗尔中值定理的推广.本文将罗尔中值定理由区间 推广到了区间 (a,b),由 推广到了区间（-∞，+∞） ，由f（a）=f（b） 推广到(有限或±∞).而将拉格朗日中值定理中的可微条件适当放宽,使其具有更加广泛的意义.
2罗尔定理
若函数f满足如下条件：
f在闭区间［a，b］上连续,
f在开区间（a，b）内可导,
f（a）=f（b）
则在（a，b）内至少存在一点c,使得f、（c）=0.
2.1罗尔定理的推广
定理1：设(a,b)为有限或无穷区间f(x)在(a,b)内可微且（有限或 ）±∞,
则c∈ ,使得f、（c）= 0.
证明：先证a为有限数的情形,若使f（x）=a ,则f、（x）=0,所证显然成立.
若f（x）=a不成立,则存在x0∈（a，b）,使得f（x0）≠a,
设f(x0) ＞a （对f(x0) ＜a 同理可证）,
由于=a,
因函数f(x)在(a,b)内连续,对于任意取定的实数 μ(a＜μ＜f(x) ）,
x1∈(a,x0 ),x2 (x0 ,b),
使得f（x1）=f（x2）=μ,
在闭区间［x1,x2 ］上用罗尔定理,
可得使得f、（c）0,
再证a+∞,的情形（a=-∞, 的情形,同理可证）.
由于 =+∞,
取定x0∈(a,b)及μ＞f(x0) ,
则由于f(x)在(a,b)内连续,故x1∈(a,x0),x2(x0,b),使得f(x1)=f(x2)=μ,
在闭区间［x1,x2］上用罗尔定理,可得使得f、（c）=0.
2.2定理1的5条推论
推论1：设f（x）在（a，b）内可导,且=a≠∞ ,则在区间(a，b)内至少存在一点c,使得f、（c） 0.
推论2：设f（x）在（a，b）内可导,且+∞ ,则在区间(a，b)内至少存在一点c,使得 f、（c） 0.
若=-∞,结论同样成立.
推论3：设f（x）在（-∞，+∞）可导,且==a,则在(-∞，+∞)至少存在一点 ,使得f、（c） 0.
推论4: 设f（x）在（-∞，+∞）可导, 且+∞，=+∞ ,则在区间(-∞，+∞)内至少存在一点c,使得f、（c） 0.
若=-∞，=-∞ ,结论同样成立.
推论5：设f（x）在（a，+∞）可导, 且==a ,则在(a，+∞）至少存在一点c,使得f、（c） 0.
3拉格朗日中值定理
若函数f 满足如下条件：
f(x)在［a，b］连续
f(x)在(a,b)可导
则在(a,b)中至少存在一点c,使f、（c）=f（b）-f（a）b-a
3.1拉格朗日中值定理几何证明方法
多数教材都是通过构造辅助函数f(x)=f(x)-f(a)b-a(x-a)来证明拉格朗日中值定理的,故f(x)表示曲线y=f(x)与直线ab（y + (x-a)+f(b)-f(a)b-a(x-a)）之差从而使f(x)满足罗尔中值定理的要求,利用罗尔中值定理证得结论.无论通过何种方式,只要构造函数满足罗尔定理即可找到辅助函数满足罗尔定理条件.从几何意义上讲,就是找到一种几何量（长度,面积等）使得它在a,b值相等,在m点取得极值,满足罗尔定理,即可导出拉格朗日中值定理.
已知f(x)在［a,b］连续,在(a,b)可导,证明在(a,b)中至少存在一点,使f、（）=f（b）-f（a）b-a.
已知光滑曲线 t：
证明：引理：在平面直角坐标系中,已知a 、b 、c三个顶点的坐标a(f（a），g（a））,b(f（b），g（b）)，c(f（c），g（c）)
则abc得面积为
易知：s(x)记由(a,f（a） ),(b,f(b) ),(x,f(x)) 三点组成三角形的面积,
又因为s(x)在［a，b］上连续,且在（a，b） 可导,有s(a)=s(b)=0,
则由罗尔中值定理,存在一点∈(a,b) 使得s、（）=0 转贴于论文联盟 http://
令g（x）=x，即
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3.2拉格朗日中值定理推广定理1
如果函数f（x）满足：
(1)在区间［a，+∞］连续,
(2)在区间（a，a，+∞）可导,
(3)=m
那么在(a，+∞) 内至少存在一点c (a＜c＜+∞),
使得f、（c）=［m-f（a） ］/（c-a+1）2.
证明：令t=1x-a+1,即x=1t+a-1=φ(t)
3.3拉格朗日中值定理推广定理2
如果函数f(x)满足：
(1)在区间(-∞，+∞)连续,
(2)在区间(-∞，+∞)可导,
3.4拉格朗日中值定理推广定理3
设函数f在闭区间［a,b］上连续,
若函数在(a,b)内除了有限个点外可微,
则存在c∈(a,b),使得 ｜f(b)-f(a)｜≤｜f、(c)｜（b-a）.
证明：不妨设f仅在d∈（a，b） 不可微,分别在区间 ［a,d］与［d,b］上应用拉格朗日中值定理,则得到
3.5拉格朗日中值定理推广定理4
这个证明方法显然可以推广到f在n个点（n＞1）上不可微的情形.
4微分中值定理的应用
1.设f(x)在［a,b］上二阶可导,f(a)=f(b),证明：对任意x∈［a,b］,存在c∈,［a,b］使得,f(x)=f、、（c）2（x-a）（x-b）
证明：固定x∈（a，b）令λ是使f(x)=λ2成立的常数（由于f(x),12(x-a)(x-b), 都是常数,这个λ必然存在）.
于是我们只需要证明存在c∈［a,b］,使f、、（c）2=λ,
令f(t)=f（t）-λ2(t-a)（t-b）,
由于f（a）=f（b）=0,得到f、（
�瘙 窞 1）=f、（
�瘙 窞 2）=0,
再从λ,的定义知,f(x)0.
在区间［a，x］［x，b］, 上分别对f(t)应用罗尔定理,
得到
�瘙 窞 1，
�瘙 窞 2，a＜
�瘙 窞 1＜
�瘙 窞 2＜b,使f、（
�瘙 窞 1）=f、（
�瘙 窞 2）=0,
在闭区间［
�瘙 窞 1,
�瘙 窞 2］上,对f、（t）应用罗尔定理,
则得到c∈ （
�瘙 窞 1,
�瘙 窞 2）［a，b］ ,
使 f、、（c）=0,即f、、（c）=λ,证毕.
2.设f为［a，b］ 上二阶可导函数,f（a）=f（b）=0,并存在一点c∈（a，b）,使得f（c）＞0.证明：至少存在一点∈(a,b),使得f、、（）＜0.
证明：由拉格朗日中值定理中,存在1∈(a,c),使f(c)-f(a)=f、（1）（c-a）,
由于f（a）=0,f（c）＞0,c-a＞0故f（1）＞0,
又对f（x）在［c，b］上应用,拉格朗日中值定理,
存在2∈(c,b)使得f(b)-f(c)=f、（2）（b-c）,
因为f（b）=0,f（c）＞0,（b-c）＞0.
故f、（2）＜0,由于α＜1 ＜c＜2＜b.
∴f、（x）在［1,2］上可导,
故存在∈（1，2），（1，2）（a，b）,使f、（（1）-f、（（1）=（2-1）f、、（） .
因此得出f、、（ ＜0.转贴于论文联盟 http://
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