论文关键词： 线性规划 logistic模型 平均分配
论文摘要：为了研究20个城市的分配水问题，首先我们假定生活，工业以及综合服务业用水的增长率保持不变，然后使得每个城市个人生活用水标准都一样，这样可根据人口加权计算，即生活用水
（r为2010年个城市的人口，q为总的掉水量110亿立方米，
为第i个城市生活用水），为了让北方的经济发展尽量的快，我们在此把总的经济效益当成目标函数，由此得第一种模型
，然而考虑到污染的问题，设每种水的污染程度不同然后减掉污染情况，我们采用单位体积污染水的净化成本来衡量每种水的污染程度，由此三者对单位体积的水所带来的污染程度（污染后单位体积的水的净化费用）分别记为
，则总的污染损失
最后得到第二种模型的目标函数
结果证明这种方法能够有效快速的算出分配水的方案。WWw.11665.cOM
一. 问题的提出
水利工程建成后，预计2010年年调水量为110亿立方米，主要用来解决沿线20个大中城市的生活用水、工业用水和综合服务业的用水，分配分别为40%、38%和22%。这样可以改善该地区的生态环境和投资环境，推动经济发展。用水指标的分配总原则是：改善区域的缺水状况、提高城市的生活水平、促进经济发展、提高用水效益、改善城市环境。根据2000年的统计数据，各城市的人口数量差异大，基本状况和经济情况也不相同，各城市现有的生活、工业和综合服务业的用水情况不同，缺水程度也不同（如表所示）
表一 2000年的基本情况
城
市
代
号
城市人口
工业产值
综合服务业
总产值
人均生活用水
量
（升/日）
万元综
合服务
业用水
量
（
）
万元工
业增加
值用水
量
（ ）
总数
（万人）
年自然
增长率（%）
增加值
（亿元）
年增长
率
（%）
人均产
值（万
元）
年增长
率
（%）
1 285
2.04
737
11.1
1.16
13.2
354
160
143
682
3.03
739
11.7
0.83
12.2
209
140
72
56
9.15
193
10.0
0.30
10.0
245
180
102
87
5.9
268
12.5
0.23
12.1
325
360
96
46
5.87
480
9.8
0.22
8.6
185
315
110
78
6.12
256
7.6
0.2
7.6
178
318
120
218
5.14
464
10.2
0.44
11.8
267
235
86
52
4.5
189
10.9
0.15
12.0
165
315
131
81
3.69
721
10.0
0.22
11.4
230
320
126
83
6.61
110
6.9
0.16
11.7
320
310
186
42
8.0
36
9.6
0.18
12.3
220
320
210
41
6.1
97
8.7
0.14
13.5
174
352
170
72
6.01
104
10.3
0.22
8.9
160
280
205
128
6.92
67
8.0
0.18
9.4
250
310
180
220
5.12
310
12.9
0.53
10.2
164
220
88
78
6.56
72
11.1
0.17
9.2
180
320
210
90
6.61
114
8.8
0.18
8.4
155
310
189
32
6.44
106
10.0
0.12
11.3
165
340
210
58
4.6
83
9.0
0.15
10.3
148
280
200
121
5.9
211
10.4
0.13
8.8
202
320
180
二. 问题的分析
2.1关于背景的分析
我国是一个水资源短缺且分布很不均匀，南方地区水资源较为丰富，占到全国的80%以上，而处于干旱半干旱的北方地区，水资源十分匮乏，许多学者调研提出要彻底解决中国北方水资源短缺的问题，不需采取跨流域调水，即“南水北调，南水北调工程2002年末正式动工，此举将极大化解北方城市的供水压力，在为工业服务业提供水资源的同时，也将大大提高居民的生活和城市环境，它不仅可以长生巨大的经济效益，而且其长远的社会和生态效益更无法估量。
2.2问题一分析
要综合考虑各种情况，给出2010年每个城市的调水分配指标，使得各城市的总用水量情况尽量均衡，我们考虑让每个城市都能供上足够的水，首先假设110吨全部用来解决这20个城市的用水问题（其中包括生活用水，工业用水及其服务业用水），“尽量均衡”的意思就是说让更需要水的城市多得到供水。由此为了更好的分配110吨水资源我们分别预测2010年的人口，工业情况以及服务业情况，再假设人均生活用水量，万元，服务业用水，万元工业增加值用水，均保持不变，即可预测生活用水，工业用水及其服务业用水的情况，再根据相加求和即可得到该城市总用水量，再根据求权重依次分配。
2.3问题二分析
由于各城市的基本状况和自然条件不同，对相同的供水量所产生的经济效益不同，从经济效益的角度，要注意到，每个城市的工业和综合服务业的发展受产业规模的限制，不可能在短时间内无限制的增长这一特点，我们采用logstic模型进行分析。工业产值及其服务业均可用灰色系统模型进行预测。
三. 模型的建立
3.1预测2010年人口的模型
3.1.1模型的假设
1）假设各个城市人口自然增长率保持不变。
2）假设个个城市间人口数相对平衡，相互独立，互不影响。
3.1.2符号说明
1）x（t）为第t年某个城市的人口数
2) r（x）为自然增长率，
是自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量。
3.1.3模型的建立
于是有：
（1）
对
的一个最简单的假定是，设 为
的线性函数，即
（2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量，当
时人口不再增长，即增长率
，代入（2-2）式得
，于是（2-2）式为
（3）
将（2-3）代入方程（2-1）得：
（4）
解方程（2-4）可得：
（5）
3.1.4模型的求解
为了对以后一定时期内的世界人口数做出预测，我们首先根据所给的数据依次求的全部城市的人口数。记为x=x（i，t）为第i个城市在第t年的人口。
将2000年看成初始时刻即
，则2001为
，以次类推，以2010年为t=10作为终时刻。用函数（5）对表3.1.1中的数据进行非线性拟合，运用matlab编程得到相关的参数，可以算出可决系数（可决系数是判别曲线拟合效果的一个指标）：
3.2预测2010年工业总产值和服务业总产值的logstic模型
3.2.1模型假设
1）工业产值和服务业产值也按logistic模型增长。（经过大量的资料证明工业产值和服务业产值的增长率在前面是逐渐的变大，后逐渐变小这符合logstic模型的增长趋势。）
3.2.3模型的建立
把上面第i个城市第t年的工业产值和服务业产值分别记为i(i，t) {industry}s（i，t）[],则把第i个城市的人口增长模型中的x（t）改写成工业总产值和服务业总产值的logstic模型。
3.3综合调水问题
3.3.1模型的假设
1）个城市之间相互独立互不影响。
2)假设个城市人口，工业产值，服务业产值增长率保持不变。人口用水量不随时间变化，工业万元增长用水不变和服务业万元用水不变。
3）水只能一次性利用，不考虑循环利用。
4）个城市都处于缺水状态，都从外地调水，之间并不存在互不调水的问题。
3.3.2符号约定
符号
含义
单位
备注
第i个城市的总用水量
立方米
时间的函数
第i个城市的生活用水
立方米
时间的函数
第i个城市的工业用水
立方米
时间的函数
第i个城市的服务业用水
立方米
时间函数
单位体积带来的工业增加值
万元/立方米
常数
单位体积综合服务业增加值
万元/立方米
常数
r
为2010年第i个城市的总人数
万人
可以用logstic估算
调水n年时第i个城市的人均产值
万元
-
β
除去污染因素损失的净经济效益
万元
-
3.3.3模型一的建立
为了使最大限度的使该地区的经济达到快速发展即
已知生活用水，工业用水以及服务业用水分配时所占的比例0.4，0.38，0.22
所以得
我们将人的生活用水按个城市所占人口平均分配，即
设人均产值为k则
（其中x为工业产值，y为综合服务业产值，rwei人口数）
设第i个城市的人均产值增加为 
则 
令
为第i个城市在第n年的人均产值
（式中的n不是次方，而是第n年的含义）
设c为贫富差距，
（一常数）为起初的贫富差距
贫富差距c定义为 
为了不使贫富差距拉大我们要求
则得到一个规划问题
目标函数： 
然而，我们考虑到居民日常生活用水，工业用水以及综合服务业对水的污染程度有所不同，我们的出了第二个模型 如下
3.3.4模型二的建立
三者对单位体积的水所带来的污染程度（污染后单位体积的水的净化费用）分别记为
，则总的污染损失
第i个城市的总污染程度记为
则
目标函数则为
即
设 （其中除去污染因素损失的净经济效益）
则优化模型改写为
四. 模型的求解
4.1生活用水的分配
生活用水我们按人数平均分配已知生活水的比例0.40，则
根据
得出下表如下：
表一.生活用水（
）分配方案表
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
1463
852
80.9
97.9
165.3
89.6
172.9
69.6
112.8
109.4
a11
a12
a13
a14
a15
a16
a17
a18
a19
a20
20.1
58.2
55.6
93.5
265
92.3
115.2
40.6
72.3
142.4
4.2工业及综合服务业用水分配按照2000年的发展情况根据logstic模型，容易得到不调水情况下的人均收入k（表三）
表三 不调水情况下人均收入
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
14.5
27.2
80.9
76.5
165.3
89.6
52.9
89.6
222.8
36.4
a11
a12
a13
a14
a15
a16
a17
a18
a19
a20
20.1
58.2
35.6
13.5
39
22.3
31.2
80.6
39
42.4
取 
表四 全国污水处理收费（此部分资料来自网络）
用水类型
生活用水
工业用水
综合服务业取值
处理费
0.15
0.2
0.8
得出的结果如下：
表五工业及综合服务业用水分配（单位：亿立方米）
城市
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
工业
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
3.89
服务
10
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
2.5
城市
a11
a12
a13
a14
a15
a16
a17
a18
a19
a20
工业
1.72
0.53
4.97
2.94
0.1
3.49
5.14
5.22
3.91
8.99
服务
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
五. 模型检验及其结果分析
5.1模型的检验
随着时间的增长我们发现人均产值在变小，人民生活用水质量不会差异很多，贫富差距会越来越小。
5.2模型结果分析
结果较为准确，到2010年20个城市工业调水最多的是第20个城市
六. 模型优缺点分析
6.1模型的及其不足之处之处
模型一中按城市人口平均分配生活用水，虽然有所不足，但是能化简问题，使问题得到了很好的解决。
模型一可以看成模型二的特例，当
很小时，可以忽略。 的值要具体分析应用，由于地域不同可能会不一样。
模型没有考虑增速变化的情况，而且没有考虑水资源的循环利用问题，在全国实行科学发展观的今天我相信 的值会越来越小。
6.2模型的优点
1） 用logstic模型人口，预测工业和服务业较为准确，因为增长率按照时间在降低，就像美国的经济一样，总有一天会出现停滞状态，也就是说增长了最后会变成0，但是不是说绝对的这只是一个阶段的变化而已。
2） 本模型考虑了环境污染的问题，用单位体积净化的成本来表述污染的程度，此处为本模型创新之处。
七. 模型的改进
7.1关于2010年个数据的预测
可以用灰色系来预测2010年的工业产值及其综合服务业总产值，由于计算复杂所以采用简单的logstic预测。
7.2关于线性规划模型
计算过程中遇到了的
的大小，可已经一步修正。
7.3运算运用矩阵
可以用matlab7.0直接求出二十个城市的情况。
参考文献
[1]姜启源等，数学建模（第三版）[m].北京：高等教育出版社，2003
[2]郑錬，当代数学若干理论和方法[m].上海：华东理工大学出版社2002
[3]中国水利资源公报2009..cn/waterres/2009
[4]刘昌明，21实际中国水文科学研究的新问题新技术和新方法[m]，2004
[5]邢飞等，“南水北调“水的分配方案[ja]，北京：东北水利水电报（第25卷271期）2007
附录
1.人口预测程序
#include "iostream.h"
#include "math.h"
#define n 10 // 定义符号变量以提高程序的普遍应用性
#define x 1285
#define xm 639.5
#define r 2.04
double peoplenumber(int n) //定义人口预测函数
{double x;
x=xm/(1+(xm/x)*exp((r)*n)); //预测函数
return x;
}
void main()
{int i,j(0);
double p[n];
for( i=0;i
{j=j+1;
p[i]= peoplenumber(j);} //预测人口数存入数组，调用人口预测函数
cout<<"人口预测logistic阻滞增长模型预测结果："<
for(i=9;i
cout<<"第"<
