数字通信中的rs编码

　1.引言
　　目前ｒｓ码已经成为美国航天局(ｎａｓａ)和欧洲空间站(ｅｓａ)在深空通信级联系统中采用的标准码,此外ｒｓ码也是存储器系统的标准用码。ｒｓ码编解码的纯硬件实现比较复杂,ｅｄａ技术的出现,使得利用软件开发工具实现硬件电路设计成为现实。编解码的实现过程都在ｖｈｄｌ环境下完成。
　　2.ｒｓ码的参数及编码设计
　　本章详细讨论rs编码器和解码器的逻辑电路设计以及对设计进行的优化。rs编解码【2】算法中大量用到多项式求值运算,如伴随式计算,bm算法求解错误位置等,而这些多项式的求解可以使用乘加运算来实现,因而制约rs码编解码器性能的最主要的因素是乘法器和求逆器的设计。我们首先研究gf(24)有限域的乘法器和求逆器的逻辑电路实现。
　　2.1 gf（2m）运算
　　“加法”：只需要把它们的矢量表示进行按位异或运算即可。其程序如下：l xor p；
　　“乘法”：标准基乘法器【4】的原理如下:基于gf(24)域上面的任意两个元素a,b及其乘积c分别可以用多项式表示为:
　　a(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0 b(x)=b3x3+b2x2+b1x+b0
　　1.将a(x)和b（x)两个多项式按照常规方法相乘,得到一个次数不大于6的多项式q(x);
　　2.将q(x)对gf(24)的本原多项式p(x)=x4+x+1求模,得到次数不大于4的多项式,即得到a与b的乘积c(x)。WwW.11665.COm
　　q(x)=q6x6+q5x5+q4x4+q3x3+q2x2+q1x+q0其中q(x)各项的系数如下:
　　q0=a0b0;q1=a1b0+a0b1;q2=a2b0+a1b1+a0b2;q3=a3b0+a2b1+a1b2+a0b3;q4=a3b1+a2b2+a1b3;q5=a3b2+a2b3;q6=a3b3
　　可以得到化简的计算方法:c(x)=a(x)×b（x）modp(x)=c3x3+c2x2+c1x+c0
　　其中：c3=q3+q6
　　c2=q2+q5+q6
　　c1=q1+q4+q5
　　c0=q0+q4论文联盟http://
　　由上面的分析可以知道,直接利用一个纯组合逻辑电路就可以求解出在有限域上面a(x)和b(x)的乘积的系数。
　　2.2 rs编码算法
　　rs编码过程就是解决以生成多项式g(x)为模的除法问题。就是计算信息码符多项式m（x）除以校验码生成多项式g(x)之后的余数。
　　在介绍之前需要说明一些符号。在gf(2m)域中，符号(n，k)的含义如下：
　　m：表示符号的大小；n：表示码块长度；k：表示码块中的信息长度；k=n－k = 2t：表示校验码的符号数；t=（n－k）/2：t表示能够纠正的错误数目。例如，rs (15，11)表示码块长度共15个符号，其中信息代码的长度为11，检验码有4个检验符号，可以纠正在这个码块中出现的2个分散的或者2个连续的符号错误。
　　对一个信息码符多项式m（x），rs校验码生成多项式的一般形式为 （此处的k为大写的k）式中，k0是偏移量，通常取k0=0或k0=1，而(n-k)≥2t (t为要校正的错误符号数)。
　　假设rs (15，11)码中的15个信息符号为m10、m9、m8、m7、m6、m5、m4、m3、m2、m1和m0，信息码符多项式m（x）为:m(χ)=m10χ10+m9χ9+m8χ8+m7χ7+m6χ6+m5χ5+m4χ4+m3χ3+m2χ2+m1χ+m0
　　假设rs校验码的4个符号为q3、q2、q1和q0，
　　的剩余多项式r（x）为 r(χ)q3χ3+q2χ2+q1χ+q0,这个多项式的阶次比g(x)的阶次少一阶。 如果k0=1，t=2，由式(1－2)导出的rs校验码生成多项式就为
　　根据多项式的运算，可以得到g(x)=x4+13x3+12x2+8x+7
　　图1 编码电路图
　　编码电路图【5】如图1所示。图1中的ｇ0,ｇ1,g2，g3是生成多项式ｇ(ｘ)的各次项的系数。其中，加法和乘法均是有限域上的运算，不同于普通的四则运算, 有限域内的加法运算等效于普通的逻辑异或运算，乘法运算也可以映射到域内的加法运算进行。
　　首先所有寄存器被置为“0”,开关接至数据处。待编码数据被顺序移入编码电路,并被同时送至输出端。当最后一个编码信息被送入电路后,开关切至校验处,并且连至反馈网络的门将断开。此时寄存器里的内容就是校验位，把它们顺序输出就完成了rs编码过程。在实现rs编码的过程中,可以事先将它们计算好gf(2m)域中的元素值和生成多项式系数。
　　编解码算法对于线性分组码，产生系统码的方法是将信息位左移，然后除以一个生成多项式，得到一个系统码，这种方法得到的码字的前面一部分位原始的信息序列，后面一部分为校验序列。
　　3.结束语
　　rs解码器的逻辑设计实现是本设计中最复杂的一部分,rs码是bch码的子类，因此它也遵循bch码的解码过程。可以充分利用rs编码的循环性，通过对伴随式的定义，利用伴随式的性质对最高位码子纠错，每一个符号均可移至最高位进行纠错，从而完成rs解码。