论文关键词：散点图 回归模型 剩余标准差
论文摘要：本文主要研究的是矿脉分布的模型建立，通过对已知数据的分析，作出散点图，然后建立合适的回归模型，如：线性模型、二次模型、双曲线模型、对数模型等。运用matlab软件，通过对建立模型的剩余标准差比较，选择出最合适的回归模型为二次模型。通过对论文的研究，熟悉matlab软件的应用以及在模型建立中对模型选择的认识。
1 引言
本文通过研究矿脉的分布的研究，建立回归模型，包括线性模型、二次模型、双曲线模型、对数模型等模型。应用matlab软件对模型的比较与分析，选择出最合适的模型并对结果进行分析。
2 模型分析
2.1 问题的重述
一矿脉有13个相邻样本点，人为地设定一原点，现测得各样本点对原点的距离x，与该样本点处某种金属含量y 的一组数据如下（附录表2.1），画出散点图观测二者的关系，试建立合适的回归模型，如二次曲线、双曲线、对数曲线等。
2.2 问题的分析
2.2.1 模型假设
本问题中没有给出明确的模型选择，我们先画出其散点图，然后对其分析，建立模型。
从数理统计的观点看，这里涉及的都是随机变量，我们根据一个样本计算出的那些系数，只是它们的一个（点）估计，应该对它们作区间估计或假设检验，如果置信区间太大，甚至包含了零点，那么系数的估计值是没有多大意义的。wWw.11665.com另外也可以用方差分析方法对模型的误差进行分析，对拟合的优劣给出评价。
具体地说，回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：
( i ) 建立因变量y与自变量 quote 
… quote 
之间的回归模型 （经验公式）；
（ii）对回归模型的可信度进行检验；
（iii）判断每个自变量对y的影响是否显著；
（iv）诊断回归模型是否适合这组数据；
（v ）利用回归模型对y 进行预报或控制。
2.2.2 模型建立
matlab 统计工具箱用命令regress 实现多元线性回归，用的方法是最小二乘法，用法是：b=regress(y,x).
其中x ，y是按照 quote 
， quote 
式排列的数据，b 为回归系数估计值为 quote 
通过码头matlab建立回归模型。
[b,bint, ,rint,stats]=regress(y,x,alpha) 这里y,x 同上，alpha 为显著性水平（缺省时设定为0.05 ），b,bint 为回归系数估计值 和它们的置信区间，,rint 为残差 （向量）及其置信区间，stats 是用于检验回归模型的统计量，有三个数值，第一个是 quote 
,第二个是 quote 
，第三个是与f对应的概率p，p quote 拒绝
quote ，回归模型成立.残差以及置信区间可以用rcoplot( ,rint)画图。
3 模型求解
3.1散点图模型的求解
输入程序及题目数据，绘出散点图：
<图3.1>
从图像上看，如果第一个点数据剔除，线性关系比较明显，但并不能排除其他模型。下面就对几种模型都加以计算比较。（图3.1，程序见附录3.1）
3.1.1 线性模型
输入程序得到图（3.2），程序见附录3.2
<图3.2>
结果输出：
b =108.2581 0.1742
bint =107.2794 109.2367 0.0891 0.2593
stats =0.6484 20.2866 0.0009
线性相关系数较小，线性回归模型在alpha>0.0009成立第一个点为异常点（仅指线性模型下），予以剔除，再次输入程序得图（3.3），程序见附录3.3
<图3.3>
结果输出：
b =109.0668 0.1159
bint =108.8264 109.3072 0.0958 0.1360
stats =0.9428 164.8060 0.0000
剔除第一个点后线性系数和p值都变得好了很多。没有异常点。
线性模型为： quote 
对该模型求剩余标准差：
rmse=sqrt(sum((y-b(1)-b(2)*x1).^2)/10)得：rmse =0.1635
3.1.2 二次曲线
考虑第一个点偏离太多，予以剔除后重新输入程序计算可得：
p =-0.0043 0.2102 108.6718
二次模型 quote 
对该模型求剩余标准差：
[y,delta]=polyconf(p,x,s);
rmse=sqrt(sum((y-y).^2)./10),得：
rmse =0.1231
程序见附录3.4
3.1.3 双曲线模型
双曲线模型类似于 quote 
，可以通过将x的倒数代换转化为线性模型来求。输入程序得到图(3.4）,程序见附录3.5
<图3.4>
输出结果：b =111.4405 -9.0300
bint =111.1068 111.7743 -10.6711 -7.3889
stats =0.9302 146.6733 0.0000
有两个异常点，剔除后再次输入程序可得图（3.5），程序见附录3.6
<图3.5>
输出结果：b =111.5653 -10.9938
bint =111.2882 111.8424 -13.5873 -8.4002
stats =0.9309 107.7623 0.0000
双曲线模型 quote 
对该模型求剩余标准差：
rmse=sqrt(sum((y-b(1)-b(2)./x1).^2)/8)得：
rmse =0.1487
3.1.4 对数曲线
类似于双曲线模型,输入程序得图（3.6），程序见附录3.7
<图3.6>
输出结果：b =106.7113 1.5663
bint =105.6382 107.7844 1.0828 2.0499
stats =0.8221 50.8285 0.0000
剔除异常点，重新输入程序计算可得图（3.7），程序见附录3.8
<图3.7>
输入结果：b =107.9762 1.0496
bint =107.6403 108.3121 0.9037 1.1956
stats =0.9625 256.7014 0.0000
对数模型 quote 
对该模型求剩余标准差：rmse=sqrt(sum((y-b(1)-b(2)*log(x1)).^2)/10)得：rmse =0.1324
3.2 结果比较
通过对几个模型的比较可得，二次模型的剩余标准差最小。不过几个模型的差别很小。如表（3.1）
线性模型
二次模型
双曲线模型
对数模型
0.1635
0.1213
0.1487
0.1324
<表3.1>
4结果分析
第一个点的讨论。纵观四个模型，第一个点都属于异常点，需要剔除。但什么样的点必须剔除？对于这个问题，不合理的点固然要剔除，但同时点数的减少又将使得样本的容量变小，信度降低，这就需要使用者的判断。向本题中的第一个数据，很明显不符合任何模型，严重干扰回归分析，可以判断为是异常点，予以剔除。
第二个是模型的选择。本题目的特点在于，因为对矿物分布和地质知识的缺乏，不能从理论上加以分析，只能从数据本身出发，加以分析。这就隐藏了很多问题。
5 论文中的公式
quote 
， quote
（2.1）
quote （2.2）
quote 
（2.3）
6 结论
通过对几个模型的比较可得，二次模型的剩余标准差最小。不过几个模型的差别很小。固采用二次模型为最合适模型
附录
表2.1
x
2
3
4
5
7
8
10
y
106.42
109.20
109.58
109.50
110.00
109.93
110.49
x
11
14
15
16
18
19
y
110.59
110.60
110.90
110.76
111.00
111.20
程序3.1
x1=[2 3 4 5 7 8 10 11 14 15 15 18 19]';
y=[106.42 109.20 109.58 109.50 110.00 109.93 110.49 110.59 110.60 110.90 110.76 111.00 111.20]';
plot(x1,y,'+')
程序3.2
alpha=0.05;
x1=[2 3 4 5 7 8 10 11 14 15 15 18 19]';
y=[106.42 109.20 109.58 109.50 110.00 109.93 110.49 110.59 110.60 110.90 110.76 111.00 111.20]';
x=[ones(13,1),x1];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha);
b,bint,stats,rcoplot(r,rint)
程序3.3
alpha=0.05;
x1=[3 4 5 7 8 10 11 14 15 15 18 19]';
y=[109.20 109.58 109.50 110.00 109.93 110.49 110.59 110.60 110.90 110.76 111.00 111.20]';
x=[ones(12,1),x1];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha);
b,bint,stats,rcoplot(r,rint)
程序3.4
x=[3 4 5 7 8 10 11 14 15 15 18 19];
y=[109.20 109.58 109.50 110.00 109.93 110.49 110.59 110.60 110.90 110.76 111.00 111.20];
[p,s]=polyfit(x,y,2);p
程序3.5
alpha=0.05;
x1=[2 3 4 5 7 8 10 11 14 15 15 18 19]';
y=[106.42 109.20 109.58 109.50 110.00 109.93 110.49 110.59 110.60 110.90 110.76 111.00 111.20]';
x=[ones(13,1),1./x1];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha);
b,bint,stats,rcoplot(r,rint)
程序3.6
alpha=0.04;
x1=[5 7 8 10 11 14 15 15 18 19]';
y=[109.50 110.00 109.93 110.49 110.59 110.60 110.90 110.76 111.00 111.20]';
x=[ones(10,1),1./x1];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha);
b,bint,stats,rcoplot(r,rint)
程序3.7
alpha=0.05;
x1=[2 3 4 5 7 8 10 11 14 15 15 18 19]';
y=[106.42 109.20 109.58 109.50 110.00 109.93 110.49 110.59 110.60 110.90 110.76 111.00 111.20]';
x=[ones(13,1),log(x1)];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha);
b,bint,stats,rcoplot(r,rint)
程序3.8
alpha=0.05;
x1=[3 4 5 7 8 10 11 14 15 15 18 19]';
y=[109.20 109.58 109.50 110.00 109.93 110.49 110.59 110.60 110.90 110.76 111.00 111.20]';
x=[ones(12,1),log(x1)];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha);
b,bint,stats,rcoplot(r,rint)
