摘要：由于宏观经济因素以及金融市场本身众多的因素处于不断的变化中，利率也在不断的变化。本文针对我国国债收益率曲线的变动模式，采用主成分分析方法从动态的角度进行分析，得出结论：国债收益率曲线的动态性可以由三个主成分完全解释，只要给出每个主干利率的变动，就可以由三个主成分得到整条收益率曲线的运动。而且各个主干利率的变动是高度相关的，波动性各不相同，相差很大.
关键词：国债；国债收益率；利率期限结构；主成分分析
一、引言
利率期限结构，是描述在某一时点上，在相同风险水平下，各种不同期限国债的利率（即到期年收益率）与到期期限之间的关系，或者说是理论上的零息债券利率曲线。利率期限结构是货币政策的重要指标，是金融投资和借贷的一个重要依据，是资产定价和发现套利机会的重要工具.
有了到期收益率曲线，就能够预测未来利率的变动，并对利率型金融产品进行定价，为投资者提供投资的参考和依据.
但是，由于宏观经济因素以及金融市场本身众多的因素处于不断的变化中，利率也在不断的变化，需要从动态的角度对收益率曲线的变动模式进行分析。一般认为，利率曲线的变动模式主要有三种，即平行移动、斜向移动和曲率移动。而从利率的变动中解构出主要变动形式的最好方法是应用主成分分析法.
二、主成分分析的基本原理
主成分分析方法的原理是借助于适当的数学转换，用大量相互依赖的原始变量构造出一些新的较少的互不相关的复合变量，并且保留原始变量尽量多的信息，通过研究复合变量来达到研究原始变量的目的，这些复合变量称为主成分。Www.11665.CoM主成分分析方法是解释和验证多变量因素系统的方差或协方差结构的一种统计技术.
利率期限结构关于主成分方法的实证研究表明，利率变动总体方差的绝大部分来自于两到三个因素的贡献。这三个风险因素称为“水平因素”、“倾斜因素”和“曲率因素”。水平因素对应于最大特征根，反映出平行移动因素在收益率曲线变动中发挥了主导作用。收益率对水平因素的变动的敏感性与债券的到期期限长短无关是水平因素的重要特征，各种到期期限的债券收益率均受到该因素的显著影响。倾斜因素对应于第二特征根，它是影响短期收益率和长期收益率朝不同方向变化的重要因素，当市场预期短期利率和长期利率变动方向不一致时，收益率曲线会发生倾斜移动。曲率因素对应于第三特征根，当市场对收益率的波动率预期发生改变，市场的分割造成特定期限的债券供求关系出现暂时失衡，或者利率风险的期限溢价发生改变时，都会造成收益率曲线的曲率移动.
在国债利率曲线动态性的研究当中，由于将即期利率表示成了期限的连续函数，因此可以从连续的期限中选出一些特定的离散的期限，这些期限所对应的收益率曲线上的点被称为主干点，主干点所对应的利率为主干利率，随着时间的推移，主干利率的变化就是原始变量，而主成分可以表示为这些主干利率变化的线性组合，即：pi=∑nj=1pi,j△rj（1）式中，pi为主成分；△rj为主干利率变化值；pi,j为主成分系数。式（1）用矩阵可以表示成：p1…pn△△△△△△△△△△△△△△△△△△=p1,1…p1,n………pn,1…pn,n△△△△△△△△△△△△△△△△△△·△r1…△rn△△△△△△△△△△△△△△△△△△（2）[pi,j]是主成分系数的矩阵，[pi]和[△rj]分别是主成分和主干利率变化的向量.
主成分系数矩阵可以由国债市场上的国债交易数据求得.
具体方法如下：选取一定数目的主干利率（如一个月、两个月、一年期、两年期、五年期所对应的利率）。在一段时间内按照一定的间隔（如在半年内每隔一天、一周、一月等等）对一定数目的不同到期期限的利率进行观测，再将利率的观测值进行一阶差分，这样就可以得到这些不同期限利率变化的数值，从而得到各个期限所对应的主干利率的变化构成的矩阵m，再求得该矩阵的协方差阵∑，可以证明∑的特征向量构成的矩阵就是主成分的系数矩阵，即可通过下式进行求解：∑pi,1…pi,n∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=λi*pi,1…pi,n∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑（3）主成分分析方法所要达到的目标有三个：①分析各个主干利率变动的波动性，即各自的波动性与期限之间的关系；②分析各个主干利率变动之间的相关性，即不同的期限所对应的收益率变动之间相关性的大小与正负；③确定能够有效地描述收益率曲线的移动需要几个主成分，这些主成分如何由原始变量构造，这些主成分对收益率曲线移动的解释能力有多大.
一条国债利率曲线的整体波动性是用来度量该曲线的所有主干利率如何联合波动的，在数量上等于上述所得到的λj之和，即整体波动性∑nj=1λj。而某个主成分对整体波动性的解释能力，即该主成分所能解释的整体波动性百分比，可以计算为解释比例εi=λi∑nj=1λj。主成分解释比例可以提供收益率曲线动态性的重要信息，它们可以用来决定要能足够精确地描述收益率曲线的移动需要多少个主成分.
三、国债收益率曲线的主成分分析
1.数据的选取
上海证券交易所交易的记账式国债种类最多，市场相对活跃，基本反映了我国国债的市场交易信息。以中国债券信息网提供的上海证券交易所交易的国债为研究对象，选取的时间间隔为六个月，即从2006年9月1日至2007年4月13日的每周收盘时的收益率（共30组数据）。选取的主干利率为一年期、两年期、三年期、四年期、五年期、七年期、九年期、十二年期和十五年期的利率，主干利率分别用x1，x2，…，x9来表示.
2.实证研究过程
为了计算利率变动的主成分，必须先计算出不同时间点的利率期限结构。为此，采用成熟的三次多项式模型计算出2006年9月1日至2007年4月13日的每周收盘时的利率期限结构。根据已经得到的利率期限结构计算九个利率主干点的历史变化数据，列入表1中，然后对表中的数据进行主成分分析.
四、结果与分析
1.主干利率变动的波动性
为了分析不同时间段内主干利率变动的波动性，分别计算了表1中各主干利率变动的均值和方差，计算结果如表2所示.
表2国债收益率均值与方差数据表从表2中的均值分布可以看出，总体上我国国债利率水平呈现正常的形态，短期利率小于中期和长期利率，且利率曲线呈现逐渐稳定增加的结构.
从方差的分布来看，中期利率变动程度大于短期和长期的利率变化。这一特点同我国债券市场结构不完善、品种单一有着直接关系。为推动经济的增长，国家发行了大量的中长期国债。到目前为止，市场交易的债券主体部分都是这些当年发行的长期债券，市场交易相对频繁，对信息的反应较短期充分，而且从债券的理论看，期限越长的债券对利率变动的敏感性越大，所以反映在标准差统计中就表现为中期波动较大.
从表2中还可以看出，一年期的收益率变动的波动性是最大的，而其它期限的波动性相对来说要小。一年期的收益率变动的波动性大，说明一年期国债的收益率变化是不稳定的，投资一年期国债的风险是比较大的.
2.主干利率变动的相关性
为了分析各个主干利率变动之间是否存在相关性，分别计算表1中各主干利率变动之间的相关系数，得到了相应的相关系数矩阵，如表3所示.
从表3中的相关系数矩阵可以看出，各个主干利率的变动之间都是高度相关的。但是根据相关性的正负可以把利率分为正相关与负相关两组。一年期利率的变动与二年期利率、三年期利率的变动是正相关的，而与其它期限的利率变动是负相关的.
其它各种主干利率变动之间的相关性都是正相关，这说明时间对各主干利率变动的影响是比较小的.
3．主干利率变动的主成分分析
对表1中不同期限利率变化的数值进行主成分分析，得到的计算结果如表4所示.
表4国债主成分分析结果由表4中可以看出，前三个主成分的解释比例分别为63.55%、30.22%和5.99%，从累计解释比例来看这三个主成分已经达到了99.75%。可见，前三个主成分解释的精度已经足够高，已基本上刻画出我国国债收益率曲线的变动模式。因此，我国国债收益率曲线的动态性可以由三个主成分完全解释，只要给出每个主干利率的变动，就可以由三个主成分得到整条收益率曲线的运动。根据计算结果，可以得到这三个主成分对应的主成分系数，如表5所示.
表5国债主成分系数由表5可以分析得知，对于短期投资的国债利率期限结构的前三个主成分可以分别表示为：第一主成分：p1=－0.1524△r1+0.2648△r2+0.3717△r3+0.4027△r4+0.4057△r5+0.3809△r6+0.3449△r7+0.3015△r8+0.2944△r9（4）第二主成分：p2=0.8930△r1+0.3682△r2+0.1889△r3+0.0962△r4+0.0390△r5－0.0292△r6－0.0664△r7－0.0909△r8－0.0840△r9（5）第三主成分：p3=－0.3534△r1+0.2971△r2+0.3555△r3+0.2758△r4+0.1513△r5－0.1179△r6－0.3522△r7－0.5323△r8－0.3744△r9（6）从以上各表达式可知，第一主成分受到九个主干利率变动的影响差别不是很大，而且一年期利率与第一主成分成负相关，其它主干利率则与第一主分成正相关。第二主成分主要受到一年期、二年期和三年期利率变动的影响，而且一年期、二年期和三年期利率均与第二主成分成正相关。第三主成分受到九个主干利率变动的影响相差不是很大，其中一年期、七年期、九年期、十二年期和十五年期与第三主成分成负相关，而二年期、三年期、四年期和五年期利率与第三主成分成正相关.
根据主成分系数表，可以得到主要特征向量和到期年限的函数关系图，即利率变动的主成分分析图，如图1所示，可以据此分析对收益率曲线移动起解释作用的各个因素的状况.
图1利率变动的主成分分析图图1为即期利率变化量的协方差矩阵的三个主要特征向量和剩余到期年限之间的关系。任何单个特征向量都可被解释为一种独立的即期利率曲线的基本运动模式，任何一个时点上即期利率的变化也可以看作这几个特征向量的线性组合，也就是这三种即期利率曲线基本运动模式的某种组合.
第一主成分曲线从一年期到二年期利率之间稍微有些上升，从二年期开始，第一成分曲线近似为水平。第一主成分解释了我国国债利率的同向移动，可以认为是平行移动成分。第一个主成分呈水平运动特征，说明水平因素对不同期限收益率变化的影响方向和力度大致相同，它驱动了我国国债收益率曲线的平行移动。国外实证研究的经验表明，水平因素的解释能力可以达到70%以上，发挥着决定性的作用。在最近的半年时间内，国债收益率的第一主成分的解释比例为63.55%。这说明在我国虽然交易所国债市场日趋成熟，其市场有效性不断提高，但我国交易所利率曲线的平行移动还不是很强烈，还夹杂着一些复杂的变动.
图1中的第二个主成分均是向下倾斜的，这说明短期利率与长期利率是反方向变动的，它解释了利率曲线的斜率变化，可以认为是倾斜移动成分。在最近的半年时间内，国债收益率的第二主成分的解释比例为30.22%。这表明倾斜因素在我国国债收益率曲线波动中发挥的作用远远超过国外市场。这也是导致我国长期国债利率偏低的原因之一，但从计算的结果来看，我国长期国债利率偏低的现象有了一定的改善.
图1中第三个主成分均呈现出一个波浪形的特征，这说明短期利率与长期利率是同方向变动的，而中期利率却向另外一个方向变动。这个主成分解释了利率曲线的曲率变化，可认为是曲率移动成分。从表中看出最近三年半的时间内第三主成分的解释比例仅为5.99%，说明曲率因素对我国收益率曲线形状影响不大.

综上所述，通过对我国国债利率变动进行主成分分析，发现利率的变动形式很复杂，特别是平行移动成分的解释能力不高，说明只根据到期收益率一个风险因素进行利率风险管理是远远不够的。因此，应针对不同的利率变动形式，采取相应的主成分123456789特征值0.0724270.0344390.0068280.0002791.16e-078.81e-087.02e-085.1e-083.32e-08解释比例（%）63.5530.225.990.250.000.000.000.000.00累计解释比例（%）63.5593.7699.75100.00100.00100.00100.00100.00100.00主干利率x1x2x3x4x5主成分1-0.1524100.2647640.3717330.4027320.405731主成分20.8929710.3682330.1888520.0961810.038965主成分3-0.3534400.2971090.3555270.2757780.151276主干利率x6x7x8x9主成分10.3809090.3449200.3015370.294431主成分2-0.02916-0.06642-0.09085-0.08401主成分3-0.11789-0.35221-0.53229-0.37442第一主成分第二主成分第三主成分1.31.00.70.40.1-0.2-0.5-0.803691215剩余到期年限/年风险管理措施以规避市场风险。例如，当预期利率曲线发生较大的曲率变化时，可以调整债券组合的期限比例，如采用哑铃组合或子弹组合来规避风险，以获得更高的收益.
以上的实证分析表明，数据的选取是至关重要的。首先，应该根据市场上的国债交易数据估计出整数期限月份或者年份的收益率；其次，只要是所研究时间段的长短、利率期限的间隔时间和主干利率三个方面中任何一个发生变化，主成分就可能变化。因此，应该根据时间的推移不断地对国债收益率曲线的动态性进行分析，才能有效地指导投资实践.
五、结论
通过对我国国债收益率曲线的变动模式进行动态实证分析，得到以下几点结论：①各个主干利率的变动是高度相关的，并且各个主干利率变动的波动性各不相同，相差很大。②国债收益率曲线的动态性可以由三个主成分完全解释，只要给出每个主干利率的变动，就可以由三个主成分得到整条收益率曲线的运动。③利率的变动形式复杂，特别是平行移动成分的解释能力不高，说明只根据到期收益率一个风险因素进行利率风险管理是远远不够的.
【参考文献】
[1]朱世武，陈健恒．交易所国债利率期限结构实证研究[j].金融研究，2003,10:63-73.
[2]王晓芳，刘凤根，韩龙．基于三次样条函数的中国国债利率期限结构曲线构造[j].系统工程，2005,23(6):85-89.
[3]姚长辉，梁越军．我国国债收益率曲线的实证研究[j].金融研究，1998,8:12-18.
[4]刘娴．浅析我国国债规模[j].金融投资，2007,314(2):32-33.
 [5]j.hull,a.white.one-factor interest rate models and the valuation of interest rate derivative securities[j].journal of financial and quantitative analysis,1993,28:235-254.
    [6]j.hull,a.white.the pricing of options on interest rate caps and floors using the hull-models[j].journal of financial engineering,1993,2:287-296.