作者：陆世标 吴仕勋 赵东方
【摘要】 本文以马柯维茨的均值方差模型为主要的理论基础，根据投资者对收益率和风险的不同偏好，建立了三种股票投资优化模型，供投资者投资时参考，并且通过数学软件matlab6.5进行实证研究，其结果可望为投资实践提供某种程度的科学依据。
【关键词】 数学建模 收益率 风险 优化
一、引言
我国证券市场经历了漫长的“熊市”后，终于迎来了令投资者盼望已久的大“牛市”。作为一个成熟的投资者，应该时刻牢记一句话：“股市有风险，入市需谨慎”。证券投资的风险是普遍存在的，尤其是大盘经过长时间的大涨后，系统风险越来越大。目前股市处于动荡中，因此投资者对风险的控制是必要的。投资者必须确保在获得一定的预期收益时，使得风险最小或者在一定风险水平下获得收益最大。为了达到这种目标，并创造出更多的可供选择的投资机会，进行证券投资的组合优化无疑非常必要。
二、模型假设
1、对风险评价的两个指标是投资收益率均值?滋和收益率的方差?滓2。
2、投资者都遵守主宰的原则。即在同一的风险水平下，希望得到的收益越高越好；而在获得一定收益的水平下，希望风险越小越好。wWW.11665.cOM
3、未考虑投资比率系数为负的问题。由于负的投资比例意味着卖空相应的证券，而卖空行为在我国现在是很难实现的，因此考虑不允许卖空的情况。
4、证券市场是有效的。即市场中每种证券的风险和收益的变动及其产生的原因都是人所共知的。
三、符号说明
n：证券的投资个数；x=（x1，x2，…，xn）t：为n种证券的投资比例向量；?滓2：证券投资组合的方差；?赘=（?滓ij）n×n：为n种证券收益率协方差阵；?滋=（?滋1，?滋2，…，?滋n）t：n种证券收益率均值向量；en：元素全为1的n维向量；?滋0：投资者的预期收益；r：一定的风险水平。
四、模型的建立
1、约束收益，使风险最小的问题
这里考虑的问题是在得到一定的回报的前提下使得风险最小化，因此模型的目标函数是使得风险?滓2最小，约束条件是得到一定的收益?滋0。模型如下：
min ?滓2=xt?赘x（1）
五、模型的求解
由于模型（1）的目标函数是个二次函数，约束条件是线性的，因此是一个二次规划问题，对它的求解有很多种方法，在这里采用拉格朗日方法求解。
实际应用中手工求解相应的参数非常困难，甚至不可能，一般通过在matlab6.5中编写一个程序来求出最优的解（当然也可用别的软件求解）。
由于（2）的约束条件是非线性的，因此（2）是一个非线性的规划问题，它的解法一般都是用迭代算法，迭代算法的基本思想如下。
六、实例分析
假设市场上有5种证券（或股票）可供投资，并知道其上一年的月收益率（％）如表1。
从表1中可以得出5种股票的月平均收益率?滋=（10.0，7.3，13.0，8.0，14.0）t以及收益率的协方差阵
1、把数据带入模型（1）求解。在matlab6.5中编写程序进行计算得出如下结果（程序从略）：
这结果说明，若投资者希望获得10%的收益，那么各股票的投资比例是：股票1∶股票2∶股票3∶股票4∶股票5＝0.8095∶０∶0.0276∶0.1224∶0.0405 。即投资者应该把80.95％的资金投入股票1，2.76％投入股票3，12.24％投入股票4，4.05％投入股票5，股票2不投入，而这时的系统风险为1.334。
2、把数据带入模型（2）求解。这里也在matlab6.5中编写程序进行计算得出如下结果（程序从略）：
r=1.334
x=（0.2121，0.5083，0，0.2796，0）t
?滋’=7.9376
结果说明，若投资者希望系统风险为1.334，那么各股票的投资比例是：股票1∶股票2∶股票3∶股票4∶股票5＝0.2121∶0.5083∶0∶0.2796∶0。即投资者应该把21.21％的资金投入股票1，50.83％投入股票2，27.96％投入股票4，股票3、股票5不投入，该投资者获得的收益是7.9376％。
3、把数据带入模型（3）求解。这里仍在matlab6.5中编写程序进行计算得到如下结果（程序从略）：
x=（0.1930，0.4463，0，0.3607，0）t
这结果说明，若投资者选择模型3投资，那么各股票的投资比例是：股票1∶股票2∶股票3∶股票4∶股票5＝0.1930∶0.4463∶0∶0.3607∶0。即投资者应把19.3％的资金投入股票1，44.63％投入股票2，36.07％投入股票4，股票3、股票5不投入，该投资者将获得8.0736％的收益，而系统风险是0.0117。
七、结束语
本文是利用数学的方法和手段通过数学建模方式研究投资优化问题，并建立了三个投资优化模型，供不同的投资者在作投资决策时参考，投资者可选择其中一种或多种进行投资。如果投资者想获得较高的收益而又能够承担较大的风险，那么就适合用模型（1）。如果投资者不愿意冒较大的风险，即使收益少一些他也能接受的话，那么就适合用模型（2）。如果投资者想能获得可观的收益，又希望把风险控制得较小，那么就适合用模型（3）。
【参考文献】
[1] 胡日东：组合证券投资优化模型的比较研究[j]，运筹与管理，2001（1）.
[2] 胡运权：运筹学教程[m].北京：清华大学出版社，1998.
[3] 赵东方：数学建模与计算[m].北京：科学出版社，2006.
