摘 要:介绍了经典维修性验证方法,并指出其存在的不足,主要是对于现代电子设备而言传统的验证方法需要的试验样本量太大,试验经费昂贵,难以满足实际工程需要。根据bayes原理,结合验前信息,推导建立了小子样条件下修复时间为对数正态分布时的验证模型以及试验时所需的样本量,通过理论推导,证明了该方法比经典的验证方法所需的样本量有所减少,可以节省试验经费,具有一定的实用价值。
关键词:维修性验证; bayes原理; 平均修复时间; 指标
maintainability verification method for electronical equipment with small sample size
liu fu-cheng, shang chao-xuan, li gang
(ordnance engineering college, shijiazhuang 050003, china)
abstract: the shortages of classical maintainability demonstration method are introduced, which include large number of samples and expensive cost in experiment for the traditional verification of modern electronic equipments. the bayes theory is used to reckon and provide small sample maintainability verification method for electronical equipment, and the sample size of the test. it proves that the cost can be saved and it has practical value.
keywords: maintainability verification; bayes theory; mttr; index
0 引 言
维修性试验与评定是产品在研制和生产阶段的重要活动之一,目的是全面考核产品是否达到规定的维修性要求[1]。WWw.11665.COm维修性试验与评定的内容包括定性和定量两部分,定量的维修性试验与评定,其目的是对产品的维修性指标进行验证,要求在自然故障或模拟故障条件下,根据试验中得到的数据,统计计算维修性参数,进行判决,验证其维修性是否达到指标的要求。由于维修时间参数是最重要的维修性参数[2],直接影响到装备的可用性,因此,在绝大多数的装备中,主要采用维修时间作为指标进行验证,其中尤其以平均修复时间(mttr)最为常见。
1 基于经典数理统计学的验证方法
目前在维修性验证方面,国内外均有传统的方法供使用,并制定了相应的标准。美国采用的是mil-std- 471标准,国内采用的是gjb2072-94标准,这些标准中的验证方法均是建立在经典数理统计学的基础上的。
在确定了装备的维修性指标后,就要对其是否满足维修性要求进行验证,维修性定量指标的试验验证在gjb2072-94标准中有11种方法可供选择,根据不同的参数、要求等诸多因素,综合考虑选择合适的验证方法。标准中对平均修复时间的验证提供了三种方法,见表1。
表1 平均修复时间试验方法汇总表
编号分布假设推荐样本量作业选择
1-a对数正态,方差已知不小于30自然或模拟故障
1-b分布未知,方差已知不小于30自然或模拟故障
9分布未知不小于30自然或模拟故障
上述国军标中的方法是目前最为成熟、应用最为广泛的方法。在现阶段的绝大多数电子装备研制过程中,这些方法都是维修性定量指标验证的规范指南,其中规定了详细的操作实施步骤,能够很好地指导验证工作的完成。同时gjb2072-94标准中指明“实践表明,维修作业时间采用对数正态分布的假设在大多数情况下是合理的”。因此,研究对数正态分布下平均修复时间指标的验证方法具有典型性。
该方法要求维修修复时间服从对数正态分布,其方差σ2已知,或能由以往资料得到其适当精度的估计值2。
若进行试验并记录的观测值(已取对数)为x1,x2,…,xn,计算其均值:
x=1n∑ni=1xi
若:
x≤f(μ0,α)
(1)
则认为该装备符合维修性要求而接受,否则拒绝。
国军标中规定的该验证方法是建立在传统数理统计基础之上的,立足于大样本的试验数据情况,而现代电子装备制造精密,造价昂贵,验证试验费用高,用传统的验证方法进行大样本试验难以实现[3],因此要在小子样条件下进行维修性验证。
2 小子样条件下维修性验证方法
在前面已经介绍了修复时间在大多数情况下服从对数正态分布,把维修时间的对数作为研究对象,就可以统一在正态分布的前提下进行研究,所以假设以下所有的数据均经过对数变换。
若进行试验并记录的观测值(经对数变换)为x1,x2,…,xn,由于x～n(μ,σ2)。其中σ2已知,或由以往资料得到其适当稍度的估计值2, μ为总体分布的未知参数。维修性验证的目的是判断μ与按合同给出平均修复时间可接受值μ0、不可接受值μ1之间的关系,通过分析计算得到μ的验前分布为正态分布[4-6],即μ～n(θ,ν2),其中θ,ν2为已知的μ的验前均值和方差。按合同给出平均修复时间的可接受值μ0、不可接受值μ1、承制方风险α和订购方风险β,可以通过如下方法对平均修复时间进行验证。
作如下假设:
h0:μ=μ0
h1:μ=μ1
首先计算两种假设的验前概率比[7]:
p(μ=μ1)p(μ=μ0)=limδ→0p(μ1+δ)-p(μ1-δ)p(μ0+δ)-p(μ0-δ)
=p′(μ1)p′(μ0)= e-12ν2(μ1-θ)2e-12ν2(μ0-θ)2
=e-12ν2[(μ1-θ)2-(μ0-θ)2]
(2)
由bayes公式和式(2)可计算两种假设的验后似然比[8]:
bayes公式:
p(aj|b)=p(aj)p(b|aj)∑nk=1p(ak)p(b|ak)
验后似然比:
p(h1|x)p(h0|x)=l(x|μ1)p(μ=μ1)l(x|μ0)p(μ=μ0)
=e12σ2∑ni=1[(xi-μ0)2-(xi-μ1)2]-12ν2[(μ1-θ)2-(μ0-θ)2]
当p(h1|x)p(h0|x)>1时,即:
当12σ2∑ni=1[(xi-μ0)2-(xi-μ1)2]-12ν2[(μ1-θ)2-(μ0-θ)2]>0时,可以推导出:
>σ2(μ0+μ1-2θ)2nν2+12(μ0+μ1)
(3)
式中:=1n∑ni=1xi,此时备选假设h1成立的概率大于原假设h0成立的概率,此时接受备选假设,认为平均修复时间mttr不符合要求。
而当:
<σ2(μ0+μ1-2θ)2nν2+12(μ0+μ1)
(4)
时,原假设h0成立的概率大于备选假设h1成立的概率,此时接受原假设,认为平均修复时间mttr符合要求。
由x～n(μ,σ2)及正态分布的性质可知[9],～n(μ,σ2n),令t=σ/n,则有:
f(t|h0)=12πe-12(t-nσμ0)2
f(t|h1)=12πe-12(t-nσμ1)2
判决规则可以转化为:
σ/n>σ(μ0+μ1-2θ)2nν2+n2σ(μ0+μ1)
和
σ/n<σ(μ0+μ1-2θ)2nν2+n2σ(μ0+μ1)
分别与式(3),式(4)对应,令:
t=σ(μ0+μ1-2θ)2nν2+n2σ(μ0+μ1)
由两类风险定义可得[10]:
α=p0∫+∞tf(t|h0)dt=p0∫+∞t12πe-12t-nσμ02dt
=p01-φt-nσμ0
(5)
β=p1∫t-∞f(t|h1)dt=p1∫t-∞12πe-12t-nσμ12dt
=p1φt-nσμ1
(6)
式中:p0,p1分别为假设h0,h1成立的验前概率。由于μ的验前分布为正态分布μ～n(θ,ν2),故:
p0=∫μ0-∞12πνe-(μ-θ)2ν22dμ
p1=1-p0
由式(5)、式(6)联合求得最小试验样本量为:
n=z1-αp0+z1-βp1μ1-μ0σ2
当n不是整数时,应将其归整为较大的整数。
因为αp0>α,βp1>β,所以z1-αp0+z1-βp1μ1-μ0σ2
经过以上推导可得拒绝域为:
>σ2(μ0+μ1-2θ)2nν2+12(μ0+μ1)
若≤σ2(μ0+μ1-2θ)2nν2+12(μ0+μ1),则认为该装备符合维修性要求而接受,否则拒绝。
3 结 论
由于维修性验证的经典统计方法所需的试验样本量太大,难以满足现代电子装备实际工程需要,从这个角度,本文提出了小子样条件下维修性验证问题,并推导建立了修复时间为对数正态分布时的维修性验证模型以及维修性试验时所需的样本量,最后通过比较确实可以减少试验的样本量,在其他分布类型时同样可以按着这种思路进行建立验证模型。同时该模型也存在着不足,即验前分布的确定虽有一定理论基础,但是并不完善,需要进一步的研究。
参考文献
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