声学灵敏度分析的分布源边界点法理论及实验研究

　　引言
　　声学灵敏度分析在机械优化设计中具有重要意义，它揭示了结构振动引起的声学量（声压、声强和声功率等）与设计变量间的函数关系[1～13]，对其进行寻优分析，可指导修改声源结构参数与激励频率，为产品低噪声设计提供优化方向，达到降噪的目的。
　　近年来，结构声辐射灵敏度研究已成为国内外研究的热点之一。ma z d提出了基于有限元法的模态灵敏度和频响灵敏度分析方法[1，2]；smith d c提出了基于边界元法的声学形状灵敏度计算方法[3]；cunefare k a基于边界元法推导出了结构辐射能量对声源表面法向速度的灵敏度[4]；koo b u将基于边界积分方程的声学形状灵敏度计算公式应用于三维声学灵敏度的分析[5]；ricardo s 基于边界元法计算了三维声学形状灵敏度[6]；jeong j h提出了多域边界元法计算声学灵敏度的方法[7]；kim n h基于有限元和边界元法提出了结构声学耦合灵敏度分析[8]；与此同时，国内学者也开展了一些声学灵敏度研究的工作[9～13]。
　　上述这些研究方法大都是基于有限元法、边界元法的。有限元法对结构内部声场的分析具有显著的优点，但是它需要对整个分析区域进行离散，计算量大，同时在计算外部声场时，截止边缘难以划分，并由此带来误差。边界元法作为一种半解析数值方法，具有较高计算精度，同时具有降维性且自动满足远场辐射条件等优点，在处理声学问题时边界元方法具有更大的优越性，被广泛应用于结构体声辐射计算和声学灵敏度分析中；然而在基于边界元法的声学灵敏度计算过程中，不仅要通过繁复的数值积分获得系数矩阵，还要处理本文由论文联盟http://收集整理边界积分方程（bie）中的各阶奇异积分，同时由于需要对设计参数进行求导使得奇异积分的处理更加困难。wwW.11665.CoM虽然通过一定的正则化方法，可以对奇异性进行降阶处理，但其处理过程是非常烦琐的且计算量庞大，计算效率不高，不利于向工程领域推广应用。
　　分布源边界点法（dsbpm）是在边界元法基础上提出的一种新型的声辐射计算方法[14～17]，它通过在振动体边界结点法线方向上（背离分析域）一定距离处分布一系列的特解源（点源、面源或体源），利用其在结点上产生的特解形成满足系统方程的特解矩阵，来对偶地表达出系数矩阵，从而避开了边界元法中繁复的数值积分以及奇异积分的处理等问题，降低了数值处理难度和工作量，极大提高了声辐射的计算效率。
　　文中将分布源边界点法与声学灵敏度分析相结合，建立了其理论模型；推导出了基于分布源边界点法的声学灵敏度计算公式。数值计算的结果表明了文中提出的计算方法在计算效率方面的优势；以箱体为对象，以激励频率为设计变量进行了实验研究，实验结果证明了文中方法的正确性和有效性。
　　1基于分布源边界点法的声学灵敏度分析在理想介质中，对于表面法向振速已知的小振幅简谐振动，其在无限域中引起的外部声辐射问题可以由边界helmholtz积分方程的离散矩为比较分布源边界点法和边界元法在声学灵敏度计算中的效率，采用同样的电脑配置（cpu 主频为28 ghz），对同一规模、上下限截止频率和步长的上述算例灵敏度计算时间进行了比较：分布源边界点法用时0955 s，边界元法用时15315 s。通过对比可以看出，分布源边界点法用时远低于边界元法，计算效率更高。
　　22箱体
　　以一箱体模型为例，进行声压关于板厚的灵敏度计算。箱体尺寸为03 m×03 m×03 m，其表面划分为600个单元，602个结点。模型材料为铝材，密度为2 700 kg/m3；弹性模量为70 gpa；泊松比为033；箱体各个面厚度相同，均为0003 m。简谐激励载荷的幅值为1 000 n，频率取为200 hz，位于该箱体上表面的中心。分析中，除被激励的面外其余5个面都视为固支，即这5个面的位移边界条件都为零。
　　被激励面的表面法向振速及其导数可以用有限元软件msc/nastran计算得到，如图2所示。
　　设计变量为箱体表面的厚度，则式（17）即为文
　　中方法计算声压关于板厚的灵敏度公式。式中特解矩阵v*ns和p*f （r）分别可由式（8）和（9）得到，表面振速vns及其导数vns/h已求得，表面振速特解矩阵逆矩阵的导数可以通过矩阵变换得到（v*ns）-1h=-（v*ns）-1（v*ns）h（v*ns）-1 （24）以距离被激励箱体表面005 m处的平面为目标面，该目标面大小为03 m×03 m， 间隔003 m分布121个点，计算该面上各点的声压灵敏度值。对基于文中方法的计算结果与通过有限差分（fdm）得到的计算结果进行了比较，结果如图3和4所示。
　　有限差分法中步长取为0000 01 m。由图3和4可以看出，两者吻合的很好，灵敏度实部相对误差为126%，灵敏度虚部的相对误差为102%，证明了文中方法计算结果的正确性。
　　文中以一个尺寸为084 m×070 m×046 m的箱体为实验对象，验证文中计算方法的正确性。
　　实验采用的箱体如图5所示，其为q235钢加工而成。箱体内部采用12面体标准声源进行激励，在实验过程中，输出信号声压和功放的幅值也保持
　　以激振频率为设计变量，计算距离上盖板表面0027 m处与上盖板等大小的平面上各点声压灵敏度。为了提高该箱体非振动表面刚度，达到可以将其视为刚体并忽略其振动对实际测量影响的目的，底板厚度设计为003 m，四周围板厚度均为002 m。上盖板的四周分别用横截面为002 m×002 m的正方形压条，通过密封垫片和螺栓紧固在箱体四边壁上。

　　当采用加速度传感器测量表面振速时，由于相互接触会对板结构振动情况造成影响，同时需要测量多个频率情况下的表面振速，工作量大，因此这里不采用该方法，而是采用近场声全息技术[18]，通过测量距离表面0017 m处的全息面上的声压，进而反推表面法向振速。采用声全息技术这种方法获得表面振速，能够避免对板的振动产生影响；另外该方法由于传声器阵列的使用，还具有测量速度快的优点。
　　以200 hz单频激励箱体，采样频率为2 048 hz，以激振频率为设计变量，验证声压频率灵敏度公式的正确性。采用0002 m厚的上盖板，通过分别测量频率200和202 hz处，即步长选择为2 hz，全息面上的声压p1和p2，获得其表面法向振速v1和v2，进一步将速度做有限差分，获得表面振速对设计变量的导数dv=（v2-v1）/2。从而以v1和dv作为初始条件，代入文中推导出的基于分布源边界点法的灵敏度公式中，可以计算得到其声压关于频率的灵敏度。表面法向振速及其导数如图6和7所示。
　　选取距离上盖板表面0027 m处的平面作
　　4结论
　　文中建立了分布源边界点法声学灵敏度分析的理论模型，推导出了基于分布源边界点法的声学灵敏度计算公式，能够计算结构体在空间任意场点处声学量对设计变量的灵敏度。与边界元法相比，该方法能够避免繁复的数值计算和奇异积分的处理，数值仿真的结果表明了文中声学灵敏度计算方法在计算效率方面的优势。以箱体为对象，以激励频率为设计变量，场点声压为目标函数，文中方法计算的声压灵敏度值与实验值吻合很好，证明了文中声学灵敏度计算方法的正确性和有效性。