基于最小二乘法的温度场声学测量仿真研究

　　温度场的检测具有十分重要的意义。作为一种新型的测温方法，声学测温方法具有传统方法所无法比拟的优势和特点[1]，在工业生产、科学研究中能够满足温度场在线控制的需要，具有很好的应用前景。
　　1 基于最小二乘法的温度场重建基本思想
　　气体介质中，温度场声学测量方法的基本原理是依据，声速u是气体介质温度t的单值函数[2]：u=■=z■ （1）
　　其中：γ—气体的摩尔热容之比，r—理想气体普适常数，m—气体摩尔质量。
　　声波从发射传感器到接收传感器之间的传输时间tof（time of flying）为：tof=■ads （2）
　　其中：a表示声波传播路径（或称声线）上声波速度的倒数，ds是声线上的线性微分元。
　　用δski表示第k条声线通过第i个小区间的长度，ai表示第i个小区间中声波的平均声速的倒数，它与第i个小区间中的温度相对应，则由方程（2），声波沿第k条声线的传播时间tofk可表示为：
　　tof■=■δs■a■ （3）
　　tof■与声波传播时间的实测值t■之差为：ε■=t■-■δs■a■ （4）
　　应用最小二乘法使方程式（4）的平方和最小，可得到正则方程[3]：
　　st·s·a=st·t （5）
　　其中：a=a■a■┇a■；t=t■t■┇t■；s=δs■ δs■ … δs■δs■ δs■ … δs■┇ ┇ ┇δs■ δs■ … δs■；
　　m代表空间区域的个数，n代表有效的声线数。wWw.11665.coM矩阵a中的a■是第i个区域的空间特性，是温度的函数。由方程（5）可得：本文由论文联盟http://收集整理
　　a=（st·s）-1·st ·t （6）
　　这样，便求出了每一分割区域的空间特性，即声波在该区域传播时声速的倒数，利用声速与温度的函数关系（1）即可求出该区域的温度：t（x，y）=1/（a2z2） （7）
　　将此温度视作该区域的平均温度，再利用内插值算法即可重建出整个温度场的温度分布。
　　2 二维方形边界温度场声学测温仿真研究
　　取一个边长为6米的二维方形边界温度场，按照正方形的方式划分子温区，整个温度场共分为16个子温区，在整个方形边界上采用均匀布置方式布置8个声发射/接收传感器，共产生24条独立的有效声线，传感器的布置方式和子温区的划分方式如图1所示。
　　图1 二维方形边界温度场传感器布置方式及子温区划分图
　　以单峰对称模型温度场为例进行仿真重建，模型温度场的温度分布函数为[4]：
　　t=600+800sin（■x）sin（■y） （8）
　　基于最小二乘法的仿真重建基本思想，利用matlab软件编译仿真重建程序进行计算机仿真重建，仿真后的模型温度场和重建后的温度场等温线图如图2所示。
　　（a）模型温度场 （b）重建温度场
　　图2 模型温度场和重建温度场的等温线图
　　为了提高温度场重建精度，有效减小重建误差，在8个传感器的基础之上再增加4个声发射/接收传感器，其布置方式图如图3所示，仿真重建后的等温线图如图4所示。
　　（a）12个传感器原有布置方式图 （b）12个传感器新的布置方式图
　　图3 12个传感器不同位置传感器布置方式图
　　（a）12个传感器原有布置方式等温线图（b）12个传感器新布置方式的等温线图
　　图4 12个传感器不同位置传感器布置方式等温线图
　　3 误差分析
　　3种情况下的重建误差
　　（上接第90页）4 结论
　　从重建结果及误差分析可以看出，在保持原有8个传感器位置不变的情况下，在4个顶点各增加1个传感器时，有效声线从24条增加到42条，重建的误差有明显的改观，说明基于最小二乘法重建思想进行温度场重建，其重建精度受到声线数量的影响，增加声线数量可以提高重建精度，减小重建误差；但在传感器数量不变的情况下（同样是12个），改变传感器布置的位置，有效声线数量从42条增加到48条，声线数量增加但是重建的精度却减小，重建误差反而增大，说明重建精度不仅受到声线数量的影响，同时还受到传感器位置的影响。这主要是由于改变传感器位置坐标后，温度场中有3横3纵共6条重要声线和子温区的划分线重合，依据最小二乘法重建思想导致这6条重要声线不可用，从而使重建精度减小，说明基于最小二乘法的重建思想进行温度场重建具有一定的局限性。因此，在布置传感器和划分子温区时，应避免声线与子温区划分线重合。