声波的传播速度的研究

　机械振动在媒质中的传播过程称为论文联盟http://机械波。声波是一种机械波。适当频率和强弱的声波传到人的耳朵,人们就感受到了声音。弹性媒质的存在是声波传播的必要条件,人们很早做过一个简单实验也清楚地证明了这一点,把电铃放在玻璃罩中,抽去罩中作为弹性媒质的空气,结果只能看到电铃的小锤在振动,却听不到由它发出的电铃声。
　　波速是媒质的一种特性。流体只能传播纵波(表面除外),固体既能传播纵波,又能传播横波。波速随媒质中波的种类而异。在不均匀媒质中,各部分媒质的波速可以不同,在各向异性媒质中,沿各个方向传播的速度可以不同。这里我们仅讨论各向同性的均匀媒质。主要是讨论在空气中传播的声波的速度。
　　1流体中的平面波方程
　　为了使问题简化,我们仅讨论流体中平面声波的波动方程,并假定媒质为理想流体,不存在粘滞性,传播时没有能量耗损。没有声扰动时,媒质在宏观上是静止的,均匀连续。设静态压强p0、静态密度都是常数 0。声波传播时,媒质中稠密和稀疏的过程是绝热的。并且媒质中传播的是小振幅声波。
　　
　　图1
　　设想在空间取一体积元,如图1所示,媒质中静止压强为p0,则有声波传播时,总压强p将在p0附近振动,这个交变振动的附加压强p就称为声压。由于声压p随位置y而异,因此作用在体积元左右侧面上的力是不相等的,其合力就导致这个体积元里的质点沿y方向的运动。当有声波传过时,体积元左侧面处的压强为p0+p,所以作用在该体积元左侧面(s为侧面积)上的力为f1(p0+p)s,因为在理想流体媒质中不存在切向力,内压力总是垂直于所取的表面,所以f1的方向是沿y的正方向。wwW.11665.cOm体积元右侧面处的压强为p0+p+dp,其中为位置从x变到x+dx以后声压的改变量, f2=(p0+p+dp)s,其方向沿y负方向。考虑到媒质静态压强p0不随y而变。因而作用在该体积元上沿x方向的合力 ,该体积元内媒质的质量为 sdx,它在力f作用下得到沿x方向的加速度,因此由牛顿第二定律有:
　　 即: …………………………(1)
　　式中 为媒质的静态密度 0,因为对小振幅声波,媒质密度 0增量甚小于静态密度,u表示体积元的振动速度。
　　设y为体积元左侧的位移,则右侧面的位移可表为体积元的体积应变为:
　　
　　流体的体积弹性模量k为 …………(2)
　　将式(2)的p代入式(1)
　　并考虑到 ,即得到平面声波的波动方程:
　　………………………………………………(3)
　　声波的传播速度应为:…………………………(4)
　　2空气中声速与温度的关系
　　如媒质可看成是理想气体,并把声波过程看作绝热过程,则根据绝热方程恒,得
　　………(5)
　　这里因为p=p0+dp,dp就是附加压强,式中r是定压比热与定容比热的比值,由此得到理想气体中的声速为
　　………………………………………………(6)
　　在1687年牛顿从等温过程得到声速公式 ,但是不久以后由实验中发现按照牛顿这一理论公式算出的声速比实际测定值小20%,直到1816年拉普拉斯才对这种情况作出了说明。认为声波在气体中的传播不是按照等温规律而是按照绝热的规律进行的。在频率高的振动中,根本来不及进行热交换。大批的实验证实了拉普拉斯公式(6)的正确性,从而人们最后确认了声振动过程确实是绝热的。
　　对于空气,r=1.402,在标准大气压p0=1.013€?05牛顿/米2,温度0℃时,密度千克/米3,按式(6)算得: 米/秒。
　　下面讨论空气中的声速与温度的关系,由理想气体状态方程:………………………………………………(7)
　　其中和t为m千克气体的压强、体积和绝对温度,为气体摩尔量,对空气=29€?0-3千克/摩尔,r=8.31焦耳/开尔文•摩尔为气体常数。
　　将式(7) 代入(6)得:
　　(t℃)=…………………………(8)1
　　
　　∴………………………………………(8)2
　　表明:空气中的声速随温度而升高。每升高1℃,声速增加0.6米/秒,例如,空气中温度为20℃时的声速 米/秒。
　　除空气外,其他的气体由于 及r值都不相同,声波速度也不同。例如:在1大气压,0℃时,氧中的声速315米/秒,氢中的声速1263米/秒,二氧化碳中声速258米/秒。
　　对于一般流体(包括液体),其压强和密度之间的关系比较复杂,很难求得类似于恒,这样的解析表达式。通常可以用式来计算声速。体积弹性模量k的倒数,叫做压缩系数,对于水20℃时千克/米3,=45.8€?0-11米2/牛顿,则按式(4)算得 1480米/秒。由于水中压强和密度间的关系比较复杂,从理论上计算声速值与温度的关系比较困难,往往根据实验测定再总结出经验公式,通常水温升高摄氏1℃,声速约增加4.5米/秒。
　　3大气中的声速与高度的关系
　　地球表面上的空气层称为大气,估计地球大气层的总质量为5€?015千克。由地球大气过渡到宇宙空间去是逐渐实现的,因此不能指出地球大气准确的上部界限。大气全部质量的50%集中在5.5公里的高度以下。在10公里高度以下集中了大气全部质量的75%左右,而在20公里下则有着全部质量的94%,可见空气密度随着高度的增加而很快地减小。
　　人们把大气分为三层——对流层、同温层、电离层。大气的低层(在中纬度约11公里以下)叫做对流层,云、雨、雪就产生在这里。因为受到地面热反射的显著影响。在对流层气温随高度增加而降低。直接衔接在对流层上面的大气层,叫做同温层。温度随高度变化的程度是很小的(至少在30公里的高度以下是这样),同温层的温度在中纬度上大约为-55℃~ -57℃。大气的高层叫做电离层,约在30公里以上,这时温度开始随高度的升高而升高,到50公里平均温度+75℃,到80公里为-105℃,85公里开始又上升,在120公里平均温度+100℃。
　　大气的状态是非常多变的,甚至在同一高度上,纬度、季节,昼夜等都能对大气状态发生影响。为了消除这种不便,人们采用了一种假想的大气,叫做国际标准大气。提出了不同高度上空气各参数(温度、压强、密度)的平均值。将海平面作为零高度,零高度上的压强为76厘米水银柱高,而空气温度作为+15℃。
　　在对流层范围内,空气温度随高度的上升而下降。因此在对流层中声速值也随高度的上升而减小。如果按照国际标准大气计算,为了计算对流层内某一高度上的声速,可以利用下面这一近似公式:(米/秒)…………………(9)
　　式中的高度h用米为单位,按照这个公式,对流层中的声速每升高250米,即减小1米/秒。
　　在11公里(11000米)以上的高度,在同温层温度开始变为固定,按照国际标准大气,等于—56.5℃,因此在这些高度上的声速也应当认为是固定的由式(8)
　　
　　…………………………………(10)
　　同温层的声速 米/秒
　　4声速与媒质质点的振动速度
　　声速代表的是声振动在媒质中的传播速度,它与媒质质点本身的振动速度是完全不同的两个概念,人们说话,声波在空气中的传播速度米/秒。那么空气中质点的振动速度u的最大值等于多少呢?下面我们作些估算。
　　由式(1),体积元的运动方程:
　　……………………………………………(11)
　　它把声压p和质点的速度u联系在一起。
　　在平面波情况下,质点的位移为:
　　速度:
　　 ………………………………………………… (12)
　　式中 是速度的最大值,称为速度振幅。
　　设声压的方程式为: ……………(13)
　　式中pm表示声压的振幅,表示声压和位移间的位相差。将式(12)(13)代入式(11),得:
　　
　　所以:
　　因此声压的方程式为
　　…………………………(14)
　　表明:声压与振动速度成正比,并具有相同的位相,都按位移超前越大,同一声压下质点获得的速度u就越小;反之,则u越大。 称为介质的声阻,以z表示,即:
　　…………………………………………(15)
　　由上式可知,质点振动速度的幅值为,对空气,当温度为20℃时,密度千克/米3,声速v=344米/秒。如果设声压幅值帕(约相当于人们大声讲话时的声压),可求得质点振动速度的幅值为: (米/秒)
　　可见与u完全是两回事,也可看出声波的速度要比质点的振动速度大得多。