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平面向量的概念与平面向量基本定理

原文作者:汤晓梅

 平面向量是高中数学的基础工具之一,它具有代数形式和几何形式的“双重性”,是高中数学的重要内容.有关平面向量的概念与平面向量的基本定理的试题是高考的“常青树”,它以题目形式类型灵活多样、解法精妙在向量中有着重要地位,但是许多同学由于对这类题“不懂章法”,陷入思维混乱的状态,兜了一大圈子仍空手而归. 本文通过对平面向量的有关概念、加减法的几何意义、线性运算、平面向量基本定理的认识和理解,把相关内容进行归纳整理,希望同学们面对向量问题能做到有的放矢,化解自如.[论文网] 
   重点难点
  重点:①平面向量的概念;②平面向量的加法与减法的三角形法则、平行四边形法则,运算律及其性质;③向量数乘的定义及其运算律;④平面向量基本定理的内容及其应用.
  难点:①用平面向量共线定理来解决三点共线和两直线平行的问题;②利用平面向量基本定理对一个向量的分解及其表示.
  方法突破
  1. 饮水思源——运算律法
  向量加、减法的运算法则在形式上与实数的加、减法的运算法则相同. 因此,实数运算中的去括号、移项、合并同类项的变形手段在平面向量的线性运算中仍然有效.
  2. 借石攻玉——几何意义法
  数缺形时少直观,形少数时难入微. 在求解平面向量的线性运算过程中要善于把握“向量几何意义”这一利器,注意平面向量的三角形法则和平行四边形法则适用的条件:运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合;运用三角形法则时两个向量必须首尾相接,否则就要把向量进行平移,使之符合条件.
   3. 中间桥梁——待定系数法
  有关向量共线或三点共线的问题,常利用向量共线定理(向量b与非零向量a共线的充要条件是“有且只有一个实数λ使b=λa”)得到关于相关参数的方程组,通过待定系数这一桥梁,使得这类难题变得平凡. 注意:向量共线也称向量平行,它与直线平行有区别. 直线平行不包括共线(即重合)的情况,而向量平行则包括共线(重合)的情况.
   4. 移花接木——平面向量基本定理
  平面向量基本定理实际上是向量的分解定理,并且是平面向量正交分解的理论依据,也是向量坐标表示的基础. 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,再通过向量的运算来证明. 在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.
   备考建议
  1. 明“概念”:平面向量的概念要理解透彻. 如:
  (1)向量是既有大小又有方向的一种量,对任意两个向量只能判断它们是否相等,不能比较它们的大小.
  (2)共线向量就是平行向量,这里“共线”不同于平面几何中的“共线”.正确理解共线向量的定义就领会了共线向量与相等向量的关系,即共线向量不一定是相等向量,但相等向量一定是共线向量.
   (3)长度为0的向量叫做零向量,零向量的方向是任意的,这点在解题中要注意. 长度为一个单位长度的向量叫做单位向量.
  2. 思“图形”: 要从几何上理解向量的运算,特别是向量的减法运算,其实质上是加法的逆运算,结果仍为一个向量. 用三角形法则做向量的加法运算时,记住“共起点,连两终点,指向被减向量的终点”.
   3. 懂“区别”:要把握好向量的运算法则,如线性运算法则等,搞清楚这些运算法则和实数运算法则的区别. 两个向量的线性运算的结果仍为一个向量,而向量的数量积的结果为一个数.
   4. 破“定理”:明确有关平面向量共线定理与基本定理的内容,掌握常规题型的解题方法与技巧.

 

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  •  更新时间:2013-11-22 09:11:19  作者:佚名 [标签: 平面 向量 平面 向量 基本定理 ]
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