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由数学史案例渗透数学哲学、教育思想的研究
数学知识呈现静态的和绝对可靠的特性,同一性原理体现事物只意味着它自己,它是逻辑学或精确科学的核心思想,它与进化的观点有明显矛盾。p=p,这里没有论证或历史考查,不涉及到心理学或哲学上的考虑,数学在这里是不变和绝对的,社会学和社会文化的历史很少顾及它们的存在。在这种情况下数学家们的多次宣称,数学没有值得人们知道的历史。
1 数学哲学指导的数学史
有人认为在某种程度上数学史是一种教条和闲谈,这种教条排除了可供选择的数学观点和立场,而把闲谈归类为脱离记录的私人沉思。若用这种方式理解数学,只能把它看成是一种终结的理论和完成的工作,这只能作为独特的现实呈现形式,与人类情感活动没有任何关系。此种观点是错误的,比如对没有解决问题的思考等,论文联盟http://那些重大的数学问题和它们的研究过程在数学史中占最大的部分,虽然它对于学生创造力的激励和真理精神的追求几乎没有帮助,但这种数学的历史观点对创造力和追求真理的精神是很重要的。
因为连续性与绝对严密之后的一种错觉在有关的实践方面没有被人们很好的理解,所以这种研究的主题被逐渐放弃了。连续性是理想状态,不具有自然统一性,对于变化的构想都要有建设性的努力才可达到,并且要有认识论的观点做支撑,这样给人们带来一种警示。对数学教条主义与实证主义的消极作用是历史的考虑,试图把历史用作揭穿假设的手段,在这种假设下,合逻辑的数学的发展成为错觉,有的时候还会步入抽象的意识形态领域。WWw.11665.COm
valery说:“一个人有直接从活动方式中思考和联合的习惯,有只在眼前手段受限的情况下想象一个工作的习惯和从不着手处理来自一个与手段毫无关系的主题或想象的效果的工作的习惯。”所以只采取指出“人类”关心或感兴趣的数学问题,还说明不了历史的方法是正确的。而且要塑造对数学史极广泛的社会文化方法的范畴,使之对身边的数学问题和认知问题适用。
拉卡托斯说:“缺乏哲学指导的数学史,是盲目的,而背弃数学史里最有趣的现象的数学哲学,也是无知的。”然而我们和拉卡托斯的观点不同,不能确信特殊的数学哲学是从历史里证明是无误的或存在历史进程的完整的理性重建。
如今有很多论战是关于提及数学客体的时单词“real”的用法,这些论战没有在历史研究中得到解决,甚至于不可能成为这些研究的方向。它的目的首先是描述和分析,而不是替哲学辩护。不同于教育家、哲学家、历史学家那样不可能集精力于辩护。“现实”就赋予文化意义上的负载,并且比重要信息或物体的集合一定要多。实证主义者对数学产生怀疑,是因为数学所研究的客体都不具备实质性的东西。
2 数学在认识论的转变中得以发展
在研究数学意义发展和物质存在的问题时,我们确信这是需要并能解决的课题。为了解决这类课题,让学生体验概括和抽象的过程,而不是直接面对抽象的过程。
在19世纪的时候出现了一些问题,数学和它的物体也出现了一些关于它的新理论、新思想的变化。根据欧几里得公理化体系转化而成的集合论和形式公理学,它们的发展使数学变得越加抽象并且缺泛必要的解析。来自大范围远距离交流的必要性和抽象的纯数学的发展,这个历史事实显得非常古怪,它的符号形式既促进同时也阻碍了学习与交流,所以它遭到很大的讽刺。学生对此学习感到困难,尤其对我们的教育实践极为重要的概念解释更加困难,而现代数学没能在这个意义上对所需的任何事物提供完整的解释,它们不是特别的假设与抽象,就是特别的技术与机械。所以不能把数学作为一个主题在校园里进行有实效的组织和追求。数学学习也要与其他学科相似,一定要对明晰根本性问题的广泛探究有帮助。
所以可以得出,由欧几里得公理化体系来讲,对其有意义的语句和可以理解的概念进行逻辑还原、组织与分析,好像留给我们思考的没有复原的基本工具,但这并不能说明我们都想回到过去的风格,而欧几里得数学方法的目的在于把一切事物都化简成基本数学。但不可否认的是现代数学在方法论和认识论上是被划分开来的。
关于数学和数学对象本质的本体论在认识论转变的基础上得以巩固和发展。若我们想要把数学史用于教育来促进人的发展时,正确理解这些转变是很有必要的,下面用实例说明从机械论证到关系思维和从直接的方法到间接的方法这个认识论的转变过程。
3 利用数学看待和分析世界
在19世纪到20世纪数学在希尔伯特和皮亚诺的公理系统下出现了深刻的大变革,并已成数学史上最感兴趣的事情。数学在19世纪被看作是陈述必要结论的科学,据此数学可以完全不受存在主义的影响,可以说这是一个假说或是一种推理。在之前的公理系统就是不需要证明的,19世纪以后数学大厦的地基就变成了纯粹的臆测,只用他们可能的推论加以证明,数学涉及事物的理想状态,它具有系统化和分析思想的方法,同时也是自我反思过程,数学在一定意义上讲也是元知识,但是皮尔斯与多数数学家和哲学家不同,连他本人都在否认数学的完全解析理想,他把数学看成在动态现实之中建立客体的可能性。
公理化体系所带来的态度看作是一种运动,需要“具体对象”为它起作用,数学中还是存在一些事实和事物得不到正确的解释,这和莱布尼兹的充足理由律相悖。所以对解析态度不应过分夸大,如果夸大就象人能够预知他的所有结果。正确的观点是数学可以看作是推理形式和操作形式之间的一种递归和互动。
操作思维和操作思维所带来的观点认同从古代数学到笛卡尔观点这种转变是可能的,这其中不可缺的补充部分,被称为关系思维,莱布尼兹确信真理是可以证明的,认同关系和 转贴于论文联盟 http://www.ybask.com
和理论,但笛卡尔认为真理与证明是没有关系的,更偏重于问题解决。19世纪初数学从一种语言转型成为结构科学时,数学很有优势,图示在某种意义上讲也成为思考的东西。
数学中的数字是在17世纪时变成一种语言,算术是在19世纪成为一种程序化,而且它是在代数观点下结构视图产生之后才形成的。所以数学的争论在19世纪出现了两种不同的趋向、不同声音,每一种趋向都只强调两种基本的认知操作中一个,即对相似性和关系的研究。算术化程序试图根据具体化的实物和自然数来定义所有的数学概念,利用还原主义的方法来处理基本问题。例如复数对柯西来讲没有意义,只是成对的实数而已。相反正如一些数学家们所预期的那样,公理运动是想利用综合性的从上到下办法,通过推广公理的相关结构及原则,达到扩大它的理论的应用性并以此来解决数学的基本问题。
解析和综合两种观点基本组成了数学活动的实质,数学活动体现在一般化和具体化之间的递归活动,数学体现的是事物本质的抽象反映,一种思考是另一种思考的对象就是“本质的抽象”,这就是非常基本的现代数学思维方式。瑟斯顿从心理学角度称之为压缩,使人惊奇的是,数学是可压缩的,你可能费了相当长的一段时间和精力,分步的尝试从几种方法中找到一些结果,如果你一旦真正完全的理解它的结果,之后再从心理角度你去整体衡量它,马上就会发现有惊人的心理压缩。这样,数学就是一种创造或者成果的体现,并且不能独立于它在本质上的抽象上的发展,这样看来数学依赖来自行动的抽象更为恰当。但抽象一定与明确内省相反的过程不可分离,由此把之前的明确与分离形成一种主体感觉、思考、行为的特定方式。
现代数学已经具备了“关系思维”的特点,关系思维倾向于看待知识与现实等同,这是最大的障碍,与之相反,科学与数学,教会我们怎样看待现实世界,如何进行分析世界,数学史启发我们的是真理和人文精神,但它不是绝对的数学真理。
4 数学的分析和综合的交互作用
围绕公理方法展开的讨论,突出的显示了数学在过去的两个世纪里的转变。到19世纪中叶,提出数学是否应该具有类似力学或几何学那样真正的价值,数学是否应该具有算术那样有自身心理结构,将数学进行了最大程度的划分。代数学被视为是几何或力学结构的代数化,当人们逐渐认识到代数学对几何学的作用,它不是对对象的刻画时,这些差异就逐渐的没有了。关注的焦点发生了转移,转向认知和知识的内在动力上来。数学家们开始更加深刻的反思,反思他们自身的结构和活动,而不是对外部世界的反思。
单一的运算x+1衍生出自然数的加法与乘法,格拉斯曼运用这个定义证明了算术运算其它的所有重要性质,如交换律、结合律等。格拉斯曼公理包括了归纳法,但是在它那个年代却受到了猛烈的批评。holder相信涉及递归运算的那些讲述都不是公理,因为算术是先验的。若有人认为这些公式是算术公理,则他就会把相似的公理用于数论和分析中无数的概念,如此话算术公理的数量就会大增。这陈述不够明确,因为格拉斯曼没有处理困难的部分,会指责他的处理是不完整的,只给出讨论中的一些规则,就目前情况来看,这样说法比较合理, holder还未真正的领会数学公理系统,也就是数学公理系统是建立在假设基础上的,用数学推论来评估的,并不能完全表示直觉给出的基本现实。
5 如何正确理解数学内部的对立统一
19世纪初出现积分理论从柯西到勒贝格的转换,它用实证更多涉及算术近似法及不等式语言。
利用展示函数概念柯西在一定意义上做完了笛卡尔把几何向算术的压缩过程,他把几何简化成直线,当然就受到格拉斯曼等人的强烈批评,因为他们认为数学理论应该描述与某一主题区的关系。人们都认同通过连续函数概念的介入,由此数学能真正变得很适用,应该能够生成各种各样的直接的真理,对数学问题进行构思,使其与现实有直接关系,这种实证态度和公理运动态度是完全不一样,函数与连续的概念是同时发展的,连续性是函数的基本特征。柯西将数学转变成了外延理论,必须把连续函数设想成具体表述的等价类,而不能认为它的一些表述提供等价关系的外延公理等同,只能这样来理解函数连续的性质,但不能成为表示函数形式的性质。
狄利克莱和柯西认为,函数必须被看成是解析表达式,而解析表达式是建立于外延公理的基础之上。勒贝格利用假设解析表达式都成立,继而极大的推广了函数的概念,然后又从连续函数发展到可测函数,并且在实际检验的基础上,这个可测函数能包涵数学分析内能找到的所有函数,20世纪初函数概念的发展映射了数学分析的进展。
从柯西以来,可以依据函数的某一性质或推理来理解函数,而没有必要明确表述函数就能选出函数集,这是能够做到的。如柯西证明了具有这个性质:f(x+y)=f(x)+f(y)是连续函数,它没有给出函数f(x)=ax,柯西建立了对数学概念的一种全新的理解,据此数学概念可以依据它得出某一结论来给出定义,把概念理解成具有某种行动计划的操作性,这与过去的思维方式完全不同,柯西是一位真正的现代数学家。
黎曼对积分充满兴趣,继柯西之后开始研究,与柯西研究的方式不同的是他从必要条件入手,黎曼给出了闭区间上可积的有界函数的定义,黎曼由此对连续性与可积性进行了区分,并且定义出非常重要的可积函数的概念,这个概念被人们看成“完全任意”函数中最大的子集,“完全任意”的函数从19世纪中叶以来,始终在连续函数的定义中处于尤为重要地位。黎曼将可积函数的概念进行了极大的推广,未来进一步概括可积函数的概念就是一定会发生的,黎曼对计算积分值的传统程序的做法是认同的。
勒贝格的做法是分割函数的值域,显然测量和可测性概念都可以定义积分概念,勒贝格的做法不仅仅将可测集和测度集的概念放在了中心位置,还步步加强了实证分析与公理化定义的方法论,托马斯·霍金斯给了他很高的评价,就是勒贝格建立了首个通用的积分理论,各种数学范例、
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定义、定理在勒贝格研究以前早已经存在着,可是它们缺少在正确理论指导下的完整性及连贯性。
作为微积分理论,从柯西就开始对连续性进行研究,距离概念成为邻近测量的适用性是连续性的定义与定理的唯一条件,由此建立了度量空间的抽象的概念,这个开放性的概念被定义成线的开区间概念,对集合x,不同度量标准决定同一连续函数,仅当x中的一个子集对一个度量标准开放,并且对另一度量标准个也开放。描述连续函数特征的工作就是选择一个拓扑结构,等同于选择一类开放集合,空间拓扑是它结构中的一个特殊性,并且非常适合成为公理化与集合论条件的特征,若没有康托尔创建的集合论,一定没有抽象测度理论与拓扑学理论。
拓扑表征对理解勒贝格的广泛的可测集、类集、可测函数都具有帮助作用,也有助于弄明白在纯数学中发生的事情,由拓扑学的概念可以简化一般形式的辩证与推理,它描述了数学探究和现实重构的特征。
那些给我们的感觉很抽象的数学思想,若只从历史的观点去研究,就变得很容易理解,过程到结构的转换还是相当有好处的,数学史作为描述成长与发展的历程,而数学哲学涉及到更多辩护的问题,这两个在教育情境中都具有了重要的地位。
一方面,历史的角度使我们对数学内部类似的对立统一有很多的理解,一是数学成为把人类的智慧释放出来的一种力量,它已起到了一个相当重要的作用;另一方面,纯数学的发生发展时常因为正式的严格证明而出现,这些证明是公理化的数学的重要组成部分,数学为操作假说工作,但不能成为客观题材的说明。从柯西以来,对算术与积分论各自的发展描述都不尽相同,但它们都的指出,公理集合论是可用于数学和数理化最好的构架。
我想还是有许多人会觉得数学还是很陌生,那些建立于19世纪的集合和代数公理,可以被看成是集论思维的工具,而且是一个有力的工具,正是这个矛盾才使得数学史的研究更有意义、更有启迪作用。转贴于论文联盟 http://www.ybask.com
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