摘要：数学不仅能带给我们巨大的科技成就，更带给我们纯精神领域的美的愉悦。本文从美学的三个角度和谐美、简洁美和奇异美来探讨数学之美。
　　关键词：数学；美学；方法
　　中图分类号：g642.4?摇 文献标志码：a 文章编号：1674-9324（2013）30-0120-02
　　
　　数学能给予我们什么？美国著名的数学史家、数学教育家与应用数学家莫里斯·克莱因曾经说过一段话：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”从中，我们能找到答案。数学不仅能带给我们巨大的科技成就，更带给我们纯精神领域的美的愉悦。
　　本文将从以下几个美学的角度来探讨数学之美。
　　一、和谐美
　　和谐即适当和匀称。现实世界具有极精美的数学结构，数学就是研究现实世界的充满和谐的数量关系和空间形式的科学。数学的和谐美具体表现为统一美和对称美。
　　公理化方法的形成，就是追求整体与部分的统一性的结果。被誉为“几何之父”的古希腊数学家欧几里德在公元前300年左右所写的几何巨著《几何原本》是数学公理化的最早典范。在欧几里德之前，几何学的内容已经相当丰富，但那是的几何知识是零散的、杂乱无章的。欧几里德精心选择了最初的23个定义、5条公设和5条公理，从这些最初的原始概念和命题出发，通过严密的逻辑推理，推导出286个命题，从而将千头万绪的几何素材组织统一起来，使之形成一个完整的几何学演绎知识体系。
　　法国大数学家笛卡尔创立的解析几何堪称统一美的典范。wWW.11665.coM在17世纪以前，代数和几何是相互分离，彼此无关的。当时，代数还是一门比较新的科学，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。解析几何的核心思想是：用代数的方法来研究几何的问题。几何问题不仅可以归结成为代数形式，可以用代数学的方法进行计算、证明，而且可以通过代数变换来发现几何性质，证明几何性质。解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的状况，用代数方程来表示空间曲线和曲面，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来，实现了空间形式和数量关系的完美结合。
　　另外，数学中随处可见对称美。比如数学图形、数学概念、数学公式、数学运算、数学方程式、数学结论和数学方法中，都蕴含着奇妙的对称美。
　　数学中随处可见对称的图形，比如正多边形，圆，球体，正弦、余弦函数图象等。城市中的标志性建筑物，大部分都是对称的建筑物，如古希腊的巴特农神庙，上海的东方明珠塔，巴黎的埃菲尔铁塔。站在北京的天安门广场眺望天安门城楼，无不为中国古代建筑师的杰作而叹为观止，这其中就包含了对称性和各部分建筑的合适的比例。很多数学概念也具有对称美，如正与负，实与虚，增与减，上界与下界，左极限与右极限，左连续与右连续，左导数与右导数，方与圆，曲与直等等。
　　二、简洁美
　　数学的简洁美，主要体现在数学语言和数学方法的简洁上。
　　数学语言的最大特点就是叙述一个概念或定理，要准确、完备、简洁。数学语言是一种符号语言，与自然语言的区别在于：它不仅比自然语言具有更强的准确性，而且具有更多的简洁性。比如数列极限的定义。自然语言叙述比较冗长：对于一个无穷数列{an}，当项数n无限增大时，通项an无限趋近于某一常数a，此时称数列{an}存在极限，或者称数列{an}收敛，且称数列{an}收敛于a，a称为数列{an}的极限。记为：■an=a。而数学语言（ε-n语言）的叙述就非常简洁：
　　■an=a
　　?圳?坌?着＞0，?埚n∈n+，?坌n＞n，|an-a|＜?着
　　很多的数学问题在“山重水复疑无路”的时候，简洁的数学方法能“柳暗花明又一村”。其中一个著名的例子就是瑞士数学家欧拉处理哥尼斯堡七桥问题。
　　18世纪在哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如下图1所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否不重复地走遍7座桥，并且每座桥只走一次？这就是历史上著名的七桥问题。欧拉将该问题转化成一个连通的网路能否一笔画的问题。他用下图2中的四个点来表示岛屿和陆地，用连接顶点的七条弧表示七座桥。把从一个顶点出发的弧的条数称为该顶点的指数。若从该顶点出发引出奇数条弧，称该顶点为奇顶点。若从该顶点出发引出偶数

弧，称该顶点为偶顶点。从而把这个问题转化成拓扑学中的一笔画定理：一个网路能一笔画的充要条件是：它是连通的，并且奇顶点的个数是0个或者2个。因为下图2中的奇顶点个数为4个，所以该图不能一笔画。即哥尼斯堡不能一次性不重复地走完。
　　借助于直观的数学图形，应用简洁的数学方法，欧拉成功地解决了哥尼斯堡一笔画问题，并且证明了一笔画定理，给出了一个网络能否一笔画的普遍的通用的法则。
　　三、奇异美
　　奇异美是指对数学结构稳定性的破坏，当然这种“破坏”是美学中的新思想、新理论、新方法对原有习惯的一种美的突破。
　　例如下列算式的奇异性：
　　（999999999×999999999）÷（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）。此算式整齐、匀称、和谐、平衡、给人以美的享受，使人感兴趣。令人惊奇地是答案为12345678987654321。此答案仍具有整齐、匀称、和谐、平衡等特点，使人感到奇异。
　　再看看下例，从中我们可以体会到数学方法的奇异美。例如：要求和
　　y=1-■+■-■+…+（-1）n■+…。先构造出一个无穷级数
　　y（x）=x-■+■-■+…+（-1）n■+…
　　然后微分，得到
　　y'（x）=1-x2+x4-x6+……+（-1）nx2n+…
　　=■
　　再积分，得到
　　y（x）=■■dx=arctanx
　　最后代入x=1的值，得到和为y=y（1）=■这种求和的方法，通过先微分再积分这样的一对互逆的运算得到和函数的某一具体值，颇有九曲回肠之奇异。
　　我们在数学的学习中，若有心，随处可见数学的美。通过我们的课堂，数学的美传达给了学生，而这种持久的数学美的愉悦却久久地留在师生的心底。
　　参考文献：
　　[1]丘成桐，刘克峰，季理真.数学与数学人[m].杭州：浙江大学出版社，2007.
　　[2]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义[m].北京：高等教育出版社，1997.
　　[3]张顺燕.数学的源与流（第二版）[m].北京：高等教育出版社，2003.
　　[4]顾沛.数学文化[m].北京：高等教育出版社，2008.
　　基金项目：本文由海南省高等学校科学研究项目（no.hjkj2012-14）和琼台师范高等专科学校科学研究项目（no.qtky201111）共同支持
　　作者简介：曹鹏（1979.5-），女，硕士，湖北当阳人，琼台师范高等专科学校数理系讲师，研究方向为数学文化。
　　通讯作者：罗自强（1977.12-），男，博士，湖北咸宁人，海南师范大学信息科学技术学院副教授，研究方向为应用数学。