上式称为多相分解的第二种形式，其网络结构如图3.8所示。

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 &n, , , , bsp;              图3.8 fir滤波器多相分解的第二种形式

这种形式的多相分解加上等效变换适用于带有去镜像滤波器的内插系统，使其卷积运算在低抽样率一端进行。如果将h(z)进行第二型多相分解，并将式(3-11)的d改为i，则有

                             (3-12)

及

              = h(nd+d-1-m)               (3-13)

式中的i为内插率。

2.整数倍内插器的多相表示

整数倍内插器的方框图如图3.9所示。                

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                        图3.9 整数倍内插

利用多相分解第二种形式将分解

                                       (3-14)

式中

            =     (3-15)

于是图3.9变为图3.10的形式，即得整数倍内插系统多相结构。        

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                   图3.10 整数倍内插的多相分解

将图中的内插移入各个支路，并与 交换位置可以得整数倍内插系统多相形式的高效结构，如图3.11所示。     

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               图3.11 整数倍内插的多相分解的高效结构

图3.11中的 就是图3.10中的，只不过由于与内插交换位置后将改为。依据式(3-15), 应表示为

         =       (3-16)

依据式(3-16) ，具体的网络结构如图3.12所示。             

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                  图3.12 多相分量 的网络结构

3.整数倍抽取器的多相结构整数倍抽取器的方框图如图3.13所示，利用多相分解第i型式将 分解为

                =                     (3-17)

式中，

= h[(nd+k) ]               (3-18)               

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                      图3.13整数倍抽取器

于是，可把图3.13分解为图3.14型式。将图3. 14中的d倍抽取移入各支路并与，k=0,1,  ,d-1交换位置，得图3.1 5, 移至d倍抽取的右侧之后，将 改为 。依据式(3-18),  应表示为:

      = h[(nd+k) ]                  (3-19)

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                  图3.14 整数倍抽取的多相分解

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                   图3.15 整数倍抽取的多相分解的高效结构

多相分量 的网络结构如图3.16所示。

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                    图3.16 多相分量 的网络结构

4.分数倍采样频率转换的多相结构

i/d分数倍采样率转换系统的方框图如图3.17所示。

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               图3.17 i/d分数倍抽样率转换系统方框图

图3.17中表明了各处的采样周期，我们可以看出滤波的卷积运算是在最高抽样率下进行的，这是最低效的结构。按前面所讨论的整数倍抽取器或内插器的多相分解结构分解图3.17，此图中，既可以把前两个方框看成是一个1倍内插器，也可以把后两者看成是一个d倍抽取器。如图3.18所示

                    shape  \* mergeformat 

                                  (a)

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                                  (b)

                 图3.18 i/d分数倍抽样率转换的两种多相分解形式

    图3.18(a)和(b)分别使这个系统的计算工作量降低了i倍和d倍。但我们可以设法进一步减少这个系统的计算工作量并得到高效结构。下面讨论从图3.18(a)出发设法得到高效的多相表示结构。

    不失一般性，设内插因子i和抽取因子d是互质的:滤波器 的长度n是i, d乘积的倍数;由于i和d互质，根据euclid算法总能得到:

                   pi十qd=1式中，p，q为整数

图3.18 (a)即为图3.19。延时因子用p,  q,  i,  d表示。

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          图3.19 i/d分数倍抽样率转换的多相分解的等效结构

将延时因子分解且分别向内插的左侧和抽取的右侧移动。由于先内插后抽取与先抽取后内插是等效的，所以，图3.19等效为图3.20。

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           图3.20 i/d分数倍抽样率转换的多相分解的等效结构

把图3.20的 与d倍抽取作为抽取器，进行d相分解，得:

                   =                          (3-20)

其中，  对应的单位脉冲响应系数为:

        =                (3-21)

式中，m = 0,1,……,n/i一1;k=0,1,…….,i-1; j=0,1,……，n/di-1。

括号中的 的商为非负整数时有效。所以:

               =                 (3-22)

              shape  \* mergeformat

 

                   图3.21 i/d倍采样率转换的多相分解图

    图中u=n/di-1 ， v=i-1，此时滤波器卷积运算在  速率下运行，比最初在  速率下运算量减少了1/id倍。而通过分析图3.18(b)可得到另一种形式的高效多相结构。

第四章 软件无线电中的信号处理算法 4.1软件无线电中的调制算法 4.1.1信号调制通用模型
    软件无线电中的各种调制信号是以一个通用的数字信号处理平台为支撑，利用各种软件来产生的。每一种调制算法都做成软件模块形式，要产生某种调制信号只需要调用相应的模块即可。由于各种调制用软件实现，因此在软件无线电中，可以不断地更新调制模块的软件来适应不断发展的调制体制，具有相当大的灵活性和开放性。软件无线电的各种调制可以基于数字信号处理技术来实现。

在当代通信中，通信信号的种类很多，下面仅就几种信号的实现方法加以讨论。从理论上说，各种通信信号都可以用正交的方法加以实现，如图4.1所示。

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                     图4.1 正交调制的实现框图

根据图4.1，可以写出它的时域表达式

             = cos( t)+ sin( t)               (4-1)

其中， 为载波角频率， = 。调制信号的信息包含在 和 内。由于各种调制信号都是在数字域内实现的，因此，在数字域实现时要对上式进行数字化。

               = cos(n / )+ sin(n / )               (4-2)

 是采样频率的角频率。在对调制信号和载波频率进行数字化时，其采样频率可能不一样。这里多相滤波器的主要作用就是用来提高数据源的采样速率，使得调制信号的采样速率和载波的采样速率一致。下面首先对几种信号进行简单的讨论，并给出正交调制的实现方法。

4.1.2模拟信号调制算法
    1.调频(fm)

调频(fm)是载波的瞬时频率随调制信号成线性变化的一种调制方式，单音调频信号的数学表达式可以写为

=                      (4-3)

把上式展开并化简得

= ( )- ( )

= -                         (4-4)

式中， 为载波角频率， 为调制信号， 为

=                         (4-5)

从式(4-4)看到，在实现fm时要对调制信号进行积分，然后对这积分后的信号分别取正弦和余弦即可。因此，用正交调制实现时只需令

                =cos                                (4-6)

=sin                                (4-7)

为简单起见，考察调制信号为单音时，fm信号的频谱。假设输入的调制信号为 == 代入式(4-4)，可得

     = ( )- ( )        (4-8)

式中， = 为调制指数。

cos( )=               (4-9)

sin( )=                 (4-10)

这里，n为正整数， 为以 为参数的。阶第一类贝塞尔函数。调制信号的带宽为:

           =2( +1)f                                 (4-11)

式中，f= 为调制信号频率。

    2.调幅(am)

调幅就是使载波的振幅随调制信号的变化规律而变化。用单音信号进行调幅时，其数学表达式可以写为:

=                     (4-12)

其中， 为调制信号， 为调制指数，它的范围在(0,1)之间，如果 >1，己调波的包络会出现严重的失真，而不能恢复原来的调制信号波形，也就是产生过量调幅。如要实现正交调制，只要令:

         =                   (4-13)

=0                              (4-14)

把式(4-12)进行傅氏变换可得:

= +

           +                          (4-15)

由正弦波调制的调幅信号由三种频率成分组成:载波、载波和调制频率的差频(下边带)、载波和调制频率的和频(上边带)。调幅波所占的频谱宽度等于调制信号最高频率的二倍。

    3.双边带信号(dsb)

双边带信号是由调制信号和载波直接相乘得到的，它只有上、下边带分量，没有载波分量。如对dsb信号进行滤波，滤除其一个边带就可以实现单边带调制。dsb信号的时域表达式可以为:

            = cos                     (4-16)

如要实现正交调制只要令

=                             (4-17)

=0                              (4-18)

把式(4-16)进行傅氏变换可得

= +                   (4-19)

双边带信号的频谱带宽与am信号相同。

    4.单边带信号(ssb)

ssb信号是通过滤除双边带信号的一个边带而得到的。滤除其上边带就是lsb信号，滤除其下边带就可以得到usb信号。由于单边带信号的频谱宽度仅为双边带信号的一半，一方面可以为日益拥挤的短波频段节约频率资源，另一方面，单边带只传送携带信息的一个边带功率，因而在接收端获得同样信噪比时，单边带能大大节省发射功率。因此短波频段广泛应用单边带信号传输信息。下边带(lsb)的表达式为

            = +                 (4-20)

usb的数学表达式是

           = -               (4-21)

式中， 为调制信号 的hilbert变换，即

=                               (4-22)

式中，*表示卷积。hilbert变换实际上就是对该信号进行 的移相。因此ssb要实现正交调制，只要令

                =                            (4-23)

=                               (4-24)

就可以得到lsb信号。令:

=                                (4-23)

=-                              (4-24)

就可以实现usb信号。

如果发射机仍然发射两个边带，但是和双边带不同，两个边带中含有两种不同的信息，这种调制方式叫独立边带(isb)。它的数学表达式为

=[ + ] +[ - ]sin          (4-27)

式中， ， 分别为上、下边带信号， 、 分别是上、下边带的hilbert变换。要实现正交调制，只要使:

= +                             (4-28)

= -                             (4-29)

4.1.3数字信号调制算法
1.振幅键控(2ask)信号

   一个二进制的振幅键控信号可以表示为一个单极性脉冲与一个正弦载波相乘，即

=                     (4-30)

式中，g(t)是持续时间为t的矩形脉冲，为信源给出的二进制符号。、如果令

m(t)=                          (4-31)

那么

=m(t)                             (4-32)

因此，要实现正交调制，只要令

i(t)=m(t)                                (4-33)

q(t)=0                                   (4-34)

就可以实现2ask调制。2ask的功率谱由连续谱和离散谱两部分组成，其中连续谱取决于g(t)经线性调制后的双边带谱，而离散谱则由载波分量确定。2ask信号的带宽是基带脉冲波形带宽的2倍。

    2.二进制频移键控(2fsk)信号

2fsk信号是符号。对应载波角频率为 ，符号1对应载波角频率为 的己调波形。它可以用一个矩形脉冲对一个载波进行调频实现，其表达式为

= +               (4-35)

式中，的取值为0、 1 ， g(r)为矩形脉冲， 为的反码，t为码元周期。因此，只要把调制数据序列形成矩形脉冲，并把2fsk看成两个ask信号相加就可以了，并令

                                  (4-36)

                                 (4-37)

利用式(4-33)、式(4-34)就可以实现正交调制。2fsk的功率谱也是由连续谱和离散谱构成，其中连续谱由两个双边带谱叠加而成，离散谱出现在两个载波的位置上。如两个载波之间的距离较小，则连续谱出现单峰。2fsk信号所需的带宽为

                 (4-38)

    3.二进制相移键控(2psk)信号

2psk方式是键控的载波相位按基带脉冲序列的规律而改变的数字调制方式。2psk的信号形式一般表示为

=                      (4-39)

式中，的取值为-1, +1，即发送二进制符号0时 取1，发送二进制符号1时取-1。这种调制方式的正交实现与2ask信号十分相似。

    在用2psk调制方式时由于发送端以某个相位作为基准，因而在接收端也必须有这样一个固定的基准相位作参考。如果参考相位发生变化，则接收端恢复的信息就会出错。即存在“倒 ” 现象。为此，在实际中一般采用差分相移键控(2dpsk) 。2dpsk是利用前后相邻码元的相对载波相位去表示数字信息的一种表示方法。2dpsk和2psk只是对信源数据的编码不同。在实现2dpsk调制时，只要把码序列变成2dpsk码，其他的操作和2psk完全相同。假设在2psk调制时，数字信息0用相位0，数字信息1用相位 表示，在2dpsk调制时数字信息0用相位变化0，数字信息1用相位变化 表示。在实现2dpsk调制时，只要先把原信息序列(绝对码)变换成相对码，然后进行2psk调制就可以了。相对码就是按相邻符号不变表示原信息0.相邻符号改变表示原信息1的规律变换而成的。

一般情况下，2psk的功率谱与2ask的功率谱一样，但2ask信号总存在离散谱，而2psk可能无离散谱。当然，2psk信号的带宽与2ask的带宽相同。

    4.  m进制数字振幅调制(mask)信号

mask信号比2ask的信息传输效率更高。在相同的码元传输速率下，mask信号和2ask的带宽相同，2ask的信道利用率最高为2b /(s hz) ,mask的信道利用率可超过2b /(s hz)。 m电平调制信号可表示为:

=                 (4-40)

式中，g(t)是持续时间为t的矩形脉冲， 为信源给出的m进制符号0,1,……，m-1。与2ask信号类似，可以利用(4-32)--(4-34)就可以实现mask调制了。

    5.  m进制数字频率调制(mfsk)信号

mfsk是2fsk信号的直接推广。其数学表达式一般可以写为

= cos( + )              (4-41)

式中， (m=0,1,....，m一1)为与 相对应的载波角频率偏移。在实际使用中，通常有 。这样，上式可以重写为:

= cos( + )

因此只要把 、 看成调制频率，就可以利用调频的方法实现mfsk调制了。

mfsk信号的带宽一般定义为:

= - +                               (4-42)

式中， 为选用的最高频率， 为选用的最低频率， 为单个码元的带宽。

    6.四进制数字相位调制(qpsk)信号

在多进制相位调制中，qpsk信号是最常用的调制方式。它的一般表示式为:

= cos( + )                    (4-43)

式中 是受信息控制的相位参数，它将取可能的四种相位之一，例如 、 、 或 。如果把式(4-43)进一步化简可得:

= -            (4-44)

由此，只要令:

=                       (4-45)

=-                      (4-46)

就可以实现qpsk调制了。

    同样考虑到绝对移相存在“倒 ”现象，常用相对移相方式(qdpsk )来代替qpsk调制，也就是利用前后码元的相对变化来表示信息。

    7.正交振幅调制(qam)信号

正交振幅调制是一种多进制混合调幅调相的调制方式，8qam用8个点的星座的位置来代表八进制的8种数据信号(000, 001, 010, 011, 100, 101,110, 111)。这8个点的相位各不相同，而振幅只有两种。8qam和8psk(8个点均匀分布在一个圆周上的八进制相移键控)相比，8qam各信号之间的差距要大一些。在8qam中，每两个相邻的信号，相位差 ，而且振幅也有差别，振幅相同的信号，相位相差 。而8psk信号，只是相邻的信号，相位差。所以，8qam信号比8psk信号抗误码能力强一些。同样，16qam用16个点的星座位置来表示十六进制的16种数据信号，它有12种的相位，3种振幅，它抗误码能力远大于16psk信号。

qam信号的数学表达式为:

= -

          = cos( + )                   (4-47)

式中，， =arctan( )，g(t-nt)是宽度为t的脉冲信号。只要令:

=                         (4-48)

=                     (4-49)

就可以实现qam信号了。

    8.最小频移键控(msk)信号

msk信号是相位连续的移频键控的一种特例。其主要特点是包络恒定，带外辐射小，实现较简单，可用于移动通信中的数字传输，其数学表达式为:

=                     (4-50)

式中，t为码元宽度， 为+l、-1。是第n个码元的初始相位，并且有

=                                (4-51)

实际上，当输入符号为+1时，发送的角频率为 ，当输入符号为-1时，发送的角频率为: 。

所以，输入符号为+1、-1时，发送的频率分别为 、。根据调制指数的定义, 可以得到msk的调制指数为:

                            (4-52)

    9. gmsk信号

gmsk调制是把输入数据经过高斯低通滤波器进行预调制滤波器后，再进行msk调制的数字调制方式。它在保持恒定幅度的同时，能够通过改变高斯滤波器的3db带宽对已调信号的频谱进行控制。这种信号具有恒幅包络，功率谱集中，频谱较窄等特点。其数学表达式可以表示为:

=cos         (4-53)

式中，h(t)为预调制滤波器的冲激响应，它是高斯低通滤波器，为输入不归零的数据。高斯低通滤波器的冲激响应为:

                                 (4-54)

                                        (4-55)

b为高斯低通滤波器的3db带宽。

它的信号形式和msk相似，只是多了滤波环节，因此，只要把输入数据先进行滤波，再进行fm调制就可以了。

4.2软件无线电解调算法 4.2.1信号解调通用模型
    尽管调制模式多种多样，但实质上调制都是用调制信号去控制载波的某一个(或几个)参数，使这个参数按照调制信号的规律而变化的过程。载波可以是正弦波或脉冲序列，以正弦型信号作为载波的调制叫做连续波调制。在这里只讨论连续波调制信号的解调。

对于连续波调制，已调信号的数字表达式为:

=a(n)cos[ n+ ]                     (4-56)

调制信号可以分别“寄生”在己调信号的振幅a(n) ,频率 和相位中，相应的调制就是调幅、调频及调相这三大类熟知的调制方式。