试论莱布尼茨对逻辑学发展的影响

　　一、莱布尼茨的逻辑学说
　　莱布尼茨对逻辑问题的最早探索和最初贡献是试图沿着笛卡尔和霍布斯的思路建构所谓的“通用语言”。这种语言是一种用来代替自然语言的人工语言，它通过字母和符号进行逻辑分析与综合，把一般逻辑推理的规则改变为演算规则，以便更精确更敏捷地进行推理。或者说，“通用语言”是一套表达思想和事物的符号系统，利用这些符号可以进行演算并推出各种知识。在《论组合术》中，二十岁的莱布尼茨曾立志要创设“一个一般的方法，在这个方法中所有推理的真实性都要简化为一种计算。同时，这会成为一种通用语言或文字，但与那些迄今为止设想出来的全然不同；因为它里面的符号甚至词汇要指导推理；错误，除去那些事实上的错误，只会是计算上的错误。形成或者发明这种语言或者记号会是非常困难的，但是可以不借助任何词典就很容易懂得它。”在1679年9月8日给惠更斯的信中他又写道，有一个“完全不同本文由论文联盟http://收集整理于代数的新符号语言，它对于精确而自然地在脑子里再现（不用图形）依赖于想象的一切有很大的好处。……它的主要效用在于能够通过记号〔符号〕的运算完成结论和推理，这些记号不经过非常精细的推敲或使用大量的点和线会把它们混淆起来，因而不得不作出无穷多个无用的试验；另一方面，这个方法会确切而简单地导向〔所需要的〕结果。我相信力学差不多可以象几何学一样用这种方法去处理。WwW.11665.Com”
　　综合莱布尼茨零零碎碎的设想，他的宏伟规划大体旨在创造两种工具：其一是通用语言，其二是推理演算。前者的主要使命是消除现存语言的局限性和不规则性，使新语言变成世界上人人会用的具有简明符号、合理规则的语言，规定符号的演变规则与运算规则，使逻辑演变依照一条明确的道路进行下去，进而解决所有可用语言表达的问题。
　　为此，莱布尼茨做了两方面的努力：一是寻找能够代表所有概念并可认作最根本的不可分析的符号；二是给出表述诸如断定、合取、析取、否定、全称、特殊、条件联结等形式概念的设计。关于第一方面，莱布尼茨首次设想用数目代表原初概念，而逻辑演算则用如同算术中的乘或除来代替。他认为用这种数字的不同方式排列组合，进行各种运算，就可产生无穷多的复合概念。这一思想后来改进为以素数代表基本概念，而复合词项即可借分解相应的数字成为它们的素数因子来加以分析。以“人是理智动物”为例，用素数“3”代表“动物”、“5”代表“理智”，则“人”即以“15=3.5”代表。为了更好地构设“通用语言”，莱布尼茨又以设想的“人类概念字母表”为语言词汇基础创制了一些逻辑符号，如“∪”（并）、“∩”（交）等，一直沿用下来。关于第二方面，莱布尼茨的工作大致可以1679、1686、1690三个年代为标志划分为三个阶段。
　　第一阶段，莱布尼茨改进从数字代替概念以其演算，代之以对普通命题经验分析为基础的代数逻辑。他以全称肯定命题“a是b”的形式开始，提出五条基本演算规则：（1）ab是ba（交换律）；（2）a是aa（重言律）；（3）a是a（同一原则）；（4）ab是a或ab是b（化简原则）；（5）如a是b且b是c，则a是c（传递原则）。以此为据，他证明了同一和包含两个逻辑系词之间的重要关系，即，如a是b且b是a，则a与b是同一的。进而，他又提出四个定理：（1）如a是b且a是c，则a是bc；（2）如a是bc，则a是b且a是c；（3）如a是b，则ac是bc；（4）如a是b且c是d，则ac是bd。由此可见，莱布尼茨在第一阶段的逻辑演算已相当完善和科学化，为逻辑的系统化打下了坚实的基础。
　　第二阶段，莱布尼茨用等式符号作系词符号，借公式a=by表述全称肯定命题（y为一未确定的系数，用以修饰b而使b成为a的一部分），同时提出双重否定之为肯定，即“非非a=a”，并由此演释出一系列定理。为了进一步发展演算，莱布尼茨还试图通过与属性组合的关系，用代数方法来描述四个直言命题，甚至对四个直言命题的表示法提出了九个方案。
　　第三个阶段，莱布尼茨最有价值的工作是罗列了十四个基本命题：（1）a=a+a“+”表示逻辑相乘，下同）；（2）如a=b且b=c，则a=c；（3）如a=b且b≠c，则a≠c；（4）如a=b，且b<c，则a<c；（5）如a=b且c<b，则c<a；（6）如a=b且c=d；则a+c=b+d；（7）如a=b，则a+c=b+c；（8）a<b，则a+c<b+c；（9）如a+b=a，则b<a；（10）如b<a，则a+b=a；（11）如a<b且b<c，则a<c；（12）如a<b且b<a，则a=b；（13）如a<c且b<c，则a+b<c；（14）如a<b且c<d，则a+c<b+d。为适应逻辑相除，他又引进逻辑相减运算，定义为：如b包含在a中且c包括除去内容b之外的整个a的内容，则a-b=c。如前例“人=动物+理智”即可推为“人-理智=动物”。 <br="">　　上述符号构设显示，莱布尼茨的中心思想是致力于以符号表示普遍概念的“通用语言”和以代换法进行数学演算他自称的“通用数学”。就今天的眼光看来，他实际上已经发现了符号逻辑的若干重要原则和定理，触及到后由哈米尔顿所阐发的谓项量化问题，认识到在直言与假言命题之间的基本类比（即原因包含它的结果正如主项包含它的谓项），并且把握了逻辑相加的问题，甚至讨论过非三段论的关系推理。因此，莱布尼茨实际上已探察到后来为布尔和施罗德所发展的逻辑代数的整个基础。数理逻辑学家有没有看过莱氏的著作，知道不知道莱氏的计划，但所作的研究大体上都是沿着莱氏所期望的方向进行的。”莱布尼茨的符号数学研究在生前没有公布，结果使数理逻辑的发展延迟了一个半世纪。

　　二、莱布尼茨对逻辑学发展的贡献
　　莱布尼茨是数理逻辑的创始人。他明确提出了数理逻辑的指导思想：一是希望建立一种“普遍的符号语言”，这种语言的符号应该是表意的而不是拼音的，每一符号表达一个概念，如同数学的符号一样；二是一个完善的符号语言同时应该是一个“思维的演算”。他认为，演算就是用符号作运算，在数量方面，在思维方面都起作用。莱布尼兹提出的这两点重要思想正是现代数理逻辑的特征。他在数理逻辑领域的其他主要贡献一是成功地将命题形式表达为符号公式。二是构成了一种关于两个概念相结合的演算。他用⊕表示两个概念的结合，提出和证明了一些重要命题。三是提出了等词的定义，即一物能为另一物所替代而保持原来命题的真实性，那么它们就是同一的。这个原理叫做不可分辨的东西的同一原理。四是第一次确定了三值逻辑的表，其中用0表示不可能，用1/2表示偶然，用1表示必然。
　　莱布尼茨是公认的现代逻辑的奠基者。他继承霍布斯等人“思维就是计算”的思想，把逻辑的论证方式归结为“计算”一“我将作出一种通用代数，一切推理的正确性都将化归于计算。”
　　莱布尼茨设计了“通用语言”和“通用数学”来准备构建他的逻辑体系，而且现代形式逻辑也是按照他的这种设计思路发展和完善起来的，从这个意义来讲，演绎作为逻辑的根本特征似乎是更加巩固和更加不可动摇了。肖尔茨对此评价说：“我们必须把这种对演算规则的真正作用的见解看做是莱布尼茨的最伟大的发现之一，并看做是一般人类精神的最精彩的发现之一。”
　　莱布尼茨和亚里士多德一样并没有忽略去建立“一种新的逻辑”，而且他也看到了亚里士多德对这种“逻辑”的认识。他说：“我们需要有一种新的逻辑，来处理概率问题，因为亚里士多德在他的《正位篇》中所做的也不亚于此……在这里，涉及的问题是要扩充论题和给予它的概然性。”
　　尽管莱布尼茨没有在完整的意义上构造出与演绎逻辑相媲美的归纳逻辑，究其原因，是科学的发展在莱布尼茨时代还没有成熟到可以支持现代归纳逻辑建立和发展起来的程度，构造现代归纳逻辑的条件尚不具备，但莱布尼茨对所谓的“新逻辑”问题给予了充分的重视和肯定，说明归纳逻辑在他理想的逻辑体系中占有与演绎逻辑同等重要的位置。