从2012年高考湖北卷数学理科第13题话回文与回文数的论文_其他理学论文

从2012年高考湖北卷数学理科第13题话回文与回文数

　　2012年高考数学湖北卷理科第13题如下：
　　回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3443，94249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99. 3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则（ⅰ）4位回文数有个；（ⅱ）2n+1（n∈n*）位回文数有个.
　　回文“palindrome”一词来源于希腊语的“palindromo”，意为“running back again”，是指无论顺拼（写）或倒拼（写）都完全一样的词、诗歌、句子或数字等.如我国清代著名女词人吴绛雪曾有咏四季的四首回文诗《春夏秋冬》，其中的《夏》为：
　　香莲碧水动风凉，水动风凉夏日长.论文联盟http://
　　长日夏凉风动水，凉风动水碧莲香.
　　诗词描绘了一副卷卷夏日凉风吹拂湖面，水波荡漾，荷花飘香的美景，读来音韵优美，意境清新，形式奇妙，可为佳作.而在中国诗坛上这样的回文诗句举不胜举.
　　北京“天然居”餐馆，迎面有对联：
　　客上天然居，居然天上客.
　　客人看了心境特好，而且上、下联为回文联.据说乾隆皇帝别出心裁，把两句并成新的上联，征求下联.大臣纪昀机敏过人，对出下联：
　　人过大佛寺，寺佛大过人.
　　对仗工整，体现了对称、和谐、高雅美！
　　再如英语中有回文单词：radar（雷达），level（水平，水平面），rotator（旋转体），pop（流行音乐），deed（行动），civic（市民的）等等；还有回文句，如：able was i ere i saw elba（不见厄尔巴岛，我不倒.这是拿破仑被问及是否已入侵英格兰时的回答）；ma is as selfless as i am（妈妈和我一样无私）；a man，a plan，a canal，panama！（伟大的人，伟大的计划，伟大的巴拿马运河），等等，这样的回文单词和回文句子在英语中同样举不胜举.
　　随着时代的发展，现在各种广告中还出现一些回文商标，如101生发水、505神功元气袋、414毛巾、555香水、999胃药等，其中的数字都是回文数，就连常见的呼救信号sos也都是回文.可见，“回文”现象无处不在.而在数学中，最有趣的就是回文数了.下面我们谈谈数学中回文数的一些有趣问题.
　　1. 回文数的个数
　　显然两位数的回文数有11，22，…，99，共9个；三位数的回文数有1i1，2i2，…，9i9，i=0，1， …，9，共90个；四位数的回文数有1ii1，2ii2， ……，9ii9，i=0，1， …，9，共90个；相应的，五位数的回文数有900个，六位数的回文数也有900个，…，由此可归纳猜想一般结论：
　　命题1 n位数的回文数的个数，当n=2k（k∈n*）时有9×10k—1个；当n=2k+1（k∈n*）时有9×10k个，其中k∈n*.
　　证明设回文数为a1a2…an—1an，当n=2k（k∈n*）时，必有a1=a2k，a2=a2k—1，…，ak=ak+1，显然，a1与a2k可取1，2，…，9；a2与a2k—1可取0，1，…，9；…；ak与ak+1可取0，1，…，9，故根据乘法原理，当n=2k（k∈n*）时的回文数个数为1个9与（k—1）个10相乘，即9×10k—1个.
　　当n=2k+1（k∈n*）时，必有a1=a2k+1，a2=a2k，…，ak=ak+2，ak+1=ak+1，显然，a1与a2k+1可取1，2，…，9；a2与a2k可取0，1，…，9；…；ak与ak+2可取0，1，…，9；ak+1可取0，1，…，9，故根据乘法原理，当n=2k+1（k∈n*）时的回文数个数为1个9与k个10相乘，即9×10k个.

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　　由此知高考题的答案是：（1）90；（2）9×10k.
　　2. 回文数的几个性质
　　回文数与11有特别的关系：
　　命题2 从1到9的任何一个数乘以11，总能得出回文数，如2×11=22，7×11=77等.
　　如果一个回文数的位数是双数，那么它总能被11除尽，如6556÷11=596；32523÷11=29593等.我们将这个性质叙述为如下的命题
　　命题3 每一个偶位数回文数均可被11整除.
　　证明设回文数为a1a2…an—1an，当n=2k（k∈n*）时，a1a2…a2k—1a2k=a1a2…akak+1…a2a1，显然，a1可取1，2，…，9；a2，a3，…，ak可取0，1，…，9，故a1a2…akak+1…a2a1=a1+10a2+…+10k—1ak+1+10kak+…+102k—2a2+102k—1a1，而10≡
　　—1（mod 11），102≡1（mod 11），103≡—1（mod 11），…，102k—1≡—1（mod 11），故a1a2…akak+1…a2a1≡a1—a2+a3—…—a3+a2—a1≡0（mod 11）.
　　注命题3中，当回文数的位数是4时即为1992年云南初二年级数学竞赛题，题目如下：
　　把一个正整数的数码按顺序倒写后所得的数与原数相同称为回文数，例如：22，101，342243，…论文联盟http://
　　（1）将任意两个四位回文数的差记为x，求x的最小正值m；
　　（2）证明：每一个四位回文数都能m被整除.
　　命题4 如果一个回文数的位数是双数，并且越往中间数字越大，越靠两头数字越小，那么用它除以11的商一定是回文数，如2456886542÷11=223353322，2558998552÷11=232636232等.证明留给读者.
　　除此之外，还有许多有关回文数的有趣性质，如
　　命题5 任意两个凡是由1组成的数位不超过9的回文数相乘时结果一定也是回文数，如11×11=121，111×1111=123321，1111×11111=12344321等.这是有限个式子，读者完全可以一一验证，但有没有具体的证明方法，笔者还未找到.

　　在命题5中，我们考虑特殊情形，即任意由1组成的数位不超过9的回文数与其自身相乘时结果一定也是回文数，我们暂且称为回文平方数，如112=121，1112=12321，11112=12344321，…；类似地，回文立方数也有类似情况，如113=1331，1113=1367631，…但人们借助电子计算机迄今未能找到四次方、五次方以及更高次幂的回文数，于是数学家们猜想：
　　不存在nk（n；k∈n*，k≥4）型的回文数.
　　命题6 任取一个数（两位及以上），把它倒过来，并将这两个数相加，然后把这个和数再倒过来与原数相加，重复这个过程，在有限的步骤内，一定会得到一个回文数.
　　如46+64=110，110+11=121（注：110倒过来是011，但对应的数应该是11），通过两次运算就得到回文数121；59+95=154，154+451=605，605+506=1111，通过三次运算就得到回文数1111；再如197+791=988，988+889=1877，1877+7781=9658，9658+8569=18227，18227+72281=90508，90508+80509=171017，171017+710171=881188，经过七次运算得到881188这个回文数.等等，这样的例子也不胜枚举，但这也仅是一个猜测，到目前为止还无一人给出证明或否定.不过，细心的科学家还是找到了一个“意外”，这就是 196.为了给196 找到自己的回文，加拿大的科学家在前些年曾经连续奋战了289天，他们在计算机上加了几百万次，已经得出一个1300万位数，可仍旧不是回文.科学家们只好死心了，但他们也没法证明196就一定没有回文.196这个“谜”使很多数学家彻夜未眠！也许这个猜想与哥德巴赫猜想一样将成为世界级的数学难题！
　　不过关于一开始取出的数是两位数的情形，下面我们给出证明.
　　设取出的两位数为ab=10a+b（a，b=1，2，…，9），则（10a+b）+（10b+a）=11（a+b）.
　　（1）若a+b≤9，则11（a+b）显然就是一个回文数；
　　（2）若a+b=10，则11（a+b）=110，110+011=121，作两次加法运算即得回文数；
　　（3）若a+b=11，则11（a+b）=121是回文数；
　　（4）若a+b=12，13，14，15，16，17，18时，分别经过两次、两次、三次、四次、六次、二十四次、六次加法运算就得到回文数，其中当a+b=17时，经过二十四次加法运算的回文数是8813200023188.
　　综上所述，对两位数的情形，命题6是正确的.

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　　笔者在研究回文数性质时还发现一个有趣的现象，以命题给出：
　　命题7 两个由具有相同数字任意排列组成的回文数之差一定能被81整除.
　　如5142415—1452541=3689874=45554×81；5142415—1542451=3599964=44444×81；5142415—4152514=989901=12221×81；5142415—4512154=630261=7781×81…
　　更有趣的是它们的商也有的是回文数，是否也有规律可循呢？
　　由于笔者水平有限上述命题没有能给出证明，请有兴趣的读者自行研究.
　　关于回文数的奥妙无穷尽，比如回文素数等问题也很有趣，大家继续探讨吧！转贴于论文联盟 http://www.ybask.com

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