在数学学习中，常用的数学语言包括自然语言（或日常语言）、符号语言、图象语言.在数学教学中，转换数学语言的训练，是促进人的左右脑协调的极佳训练，因此教师教学时应注重数学语言互换的训练.
哪怕是同一种数学概念、定理，都有着不同的表达方式.例如,重要的函数之一：最高次数是二次的整式函数，日常用语为二次函数，符号语言是函数y=ax2+bx+c（a≠0, a、b∈r）,而用图象语言则表示为一条抛物线.同样为二次函数，符号语言又可以用多种形式表示，即除以上的一般式外，还有 y=a（x-x1）（x-x2）,其中x1、x2是抛物线与横轴的交点的横坐标，也可以表示为y=a（x-k2）+h,其中（k,h）为抛物线的顶点坐标等.
常用的这三种语言有着各自的特点：符号语言较简洁、严谨，有利于正确表达和进行推理；图象语言易产生清晰的视觉形象，能直观表示概念定理的本质及相互间的关系；日常用语较自然生动，它能将问题所研究的对象的含义在人们头脑中更加清楚地刻画出来.
【例1】 有50名学生同时做两道数学题，第一题做对的有30人，第二题做对的有33人，两题都做不对的人数比两题都对的人数的三分之一多一人，问两题都对的人数是多少？
分析：设答对第一题的学生用集合a表示，答对第二题的学生用集合b表示，则两题都答对的学生用集合a∩b表示.题目由日常用语给出条件，但直接从这些条件中难以理出头绪，于是试图将条件换成图象语言，如图1：
图1
（1）a的元素为30人，b的元素为33人.
（2）设a∩b的元素为x，可将日常用语转换为符号语言，集合a中打斜线部分为（30-x）；集合b中阴影部分为（33-x）；两题都答对的人数为x，两题都答不对的人数为(x/3+1).以此可建立等量关系.
解：设答对第一题、第二题的学生分别用集合a、b表示，且a∩b的元素为x，由图1知
（30-x）+x+(33-x)+(x/3+1)=50，∴x=21(人).
【例2】 a=｛x｜x2-2x-3≤0｝，b=｛x｜x2+px+q＜0｝，a∩b=｛x｜-1≤x＜2｝.求实数p、q满足的关系式.
分析：a=｛x｜x2-2x-3≤0｝是抽象的数量关系，将其转化为图象语言，用数轴沟通a与a∩b的关系.图2
若b=｛x｜m＜x＜n｝，得n=2，m＜-1，将这结果与已知条件联系，即可确定关系式.
解：b=｛x｜m＜x＜n｝，又a=｛x｜-1≤x≤3｝，a∩b=｛x｜-1≤x＜2｝.由图2知n=2,m<-1,从而 n=2为方程x2+px+q=0的一个根，所以p、q满足q=-2p-4.
【例3】 若抛物线y= x2+ax+2与连接m（0,1）、n(2,3)的线段（含端点m、n）有两个相异的交点，求a 的取值范围.
分析：（1）日常用语：“连接m（0,1）、n(2,3)的线段”转换为“过m、n两点的直线在 m、n之间的部分”，然后转换为符号语言：y=x+1,x∈［0,2］.
（2）日常用语：“抛物线y= x2+ax+2与连接m（0,1）、n(2,3)的线段（含端点m、n）有两个相异的交点”转换为符号语言：“由y=x+1与y= x2+ax+2，而且x∈［0,2］组成的方程组有两个不等的实数解”.
图3
解:如图3，过m（0,1）、n(2,3)两点的直线方程为y=x+1，要使抛物线y= x2+ax+2与连接m（0,1）、n(2,3)的线段（含端点m、n）有两个相异的交点，必须且只须
y= x2+ax+2、
y=x+1有两个相异的实数解，即方程x2+ax+2= x+1 当x∈［0,2］时有两个相异的实数解.令f(x)= x2+(a-1)x +1, 当f(x)满足下列条件：
0＜- a-12＜2，
(a-1)2-4＞0 ，
f(0)=1＞0，
f(2)=2a+3≥0，
解得a的取值范围为-32≤a＜-1.
一般地，如果问题的叙述是以日常用语形式表述的，尤其是应用题，为便于计算与推理，则引进字母变量或建立数学模型是常见的数学思维方法，如例1；如果问题的叙述以抽象的字母或符号语言出现，常用的思维方法往往是先转换成图象语言或日常用语，如例2；如果问题的叙述有多种语言形式，则进行各种语言的转换，如例3，可先将日常语言转换成符号语言，进一步转换成图象语言.因此在平时数学教学或学习中，要注重各种语言相互转换的训练，从而提高解题的效率.
