正方形是初中数学的重要知识内容，纵观2008年全国各地中 考试 题，可以发现诸多以正方形为载体，结合其它数学知识的优秀试题，格调清新、构思巧妙，较好的考察了学生的基础知识、学习能力和思维水平.现拮取几例加以赏析：
1 与拼图相结合,注重考察学生的观察能力.
例1 (湖南湘潭市)如图1，将一副七巧板拼成一只小猫，则下图中 ∠aob= .
解析 观察发现这里正方形内的七巧板有5块是等腰直角三角形，1块正方形和1块锐角为45°的平行四边形。利用数字标出组成正方形和小猫的七巧板之间的对应关系，如图2所示，∠aob内部的两块是等腰直角三角形，则∠aob = 90°.
例2 (湖北荆门市)用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图3所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4,若用x，y表示矩形的长和宽(x＞y)，则下列关系式中不正确的是( )
(a) x+y=12 ． (b) x－y=2． (c) xy=35． (d) x ＋y =144．
解析 观察拼图3可发现:大正方形的边长是矩形的长和宽之和；小正方形的边长是矩形的长和宽之差.由大正方形的面积是144可知其边长是12,即x+y=12①；由小正方形的边长是4可知其边长是2,即x-y=2②,因此选项a和b的关系式均正确. 解①、②得x=7,y=5.因此：xy=35, x ＋y =74.所以答案为选择d.
点评 例1、例2的拼图试题在教材中是具有相应原型的，这里改编成中考试题可谓老树发新枝。WwW.11665.CoM事实上学生若能认真观察图形的本身特点进而找到相应数量关系，准确解答并不是件难事。
2 与多边形、圆相结合,注重考察学生对几何性质的综合运用.
例3 (陕西省)如图4，梯形abcd中，ab∥cd，∠adc+∠bcd=90°，且dc=2ab，分别以da、ab、bc为边向梯形外作正方形，其面积分别为s1、s2 、s3，则s1、s2 、s3之间的关系是 ．
解析 此题中所求三个正方形的面积s1、s2 、s3之间的关系实质是求梯形abcd的两个腰长及上底边边长
三者的平方关系.可利用梯形的高来建立桥梁
作用.如图5，分别过点
a、b做ae⊥dc,bf⊥dc,
垂足分别为e、f.设
梯形abcd的高为h ,
ab=a, de=x,则dc=2a,fc=a-x.由于∠adc+∠bcd=90°，可证得△aed∽△cfb，有h2=ax-x. s1= ad2=h2+x2=ax,s2=a2,s3=bc2=h2+ (a－x)2 = a2－ax.因此:s1+ s3= s2.
例4 (江苏南通市)在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图6所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图7所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）
（1）请说明方案一不可行的理由；
（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由．
解析 (1) 因为扇形abc的弧长＝ ×16×2π＝8π，因此圆的半径应为4cm．由于所给正方形纸片的对角线长为 cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为 cm，由于 ，所以方案一不可行．
(2)设圆锥底面圆的半径为r，圆锥的母线长为r，则 ①, ②,由①②，可解得 ， ．故所求圆锥的母线长为 cm，底面圆的半径为 cm．
点评 将正方形与多边形、圆结合是中考中出现频率较高的题目。此类题目涉及知识点较多，跨度较大，需要学生具有较为扎实的基本功，具有综合运用相关数学知识的能力。
3 与“动点问题”相结合,注重考察学生对不变因素的探究能力.
例5 (湖北武汉市)正方形abcd中，点o是对角线ac的中点，p是对角线ac上一动点，过点p作pf⊥cd于点f。如图8，当点p与点o重合时，显然有df＝cf．
(1)如图9，若点p在线段ao上（不与点a、o重合），pe⊥pb且pe交cd于点e.
①求证：df＝ef；
②写出线段pc、pa、ce之间的一个等量关系，并证明你的结论；
(2)若点p在线段oc上（不与点o、c重合），pe⊥pb且pe交直线cd于点e。请完成图10并判断(1)中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）
解析 (1) ①如图11过点p做ph⊥bc,垂足为点h,连接pd.此时四边形pfch为正方形.容易证出△apb≌△apd,推得 ∠bpc=∠dpc，进一步可得∠bph =∠dpf；由∠bph +∠hpe =90°,∠epf + ∠hpe=90°，得∠bph =∠epf.因为pe⊥dc,可证得df=fe.
②由ef+ce= pc得:df=ef= pc－ec.因为pf∥ad,有 ,将df= pc－ec代入得: pc=pa+ ce.
(2)连接pb、pd,做pf⊥dc, ph⊥bc,垂足分别为f、h,在dc延长线上取一点e,使得pe⊥pb.此时有结论①df=ef成立.而结论②不成立, pc、pa、ec存在pa=pc+ ec关系.证明与②类似,略.
点评 动点问题是中考热点问题之一，它要求学生善于抓住运动变化的 规律 性和不变因素，把握运动与静止的辨证关系.例5中,无论动点p在线段ac上如何运动, ∠bpe是直角以及四边形pfch为正方形是不变的.
4 与对称、旋转相结合,注重考察学生变换的数学思想.
例6 （重庆市）如图13，在正方形纸片abcd中，对角线ac、bd交于点o，折叠正方形纸片abcd，使ad落在bd上，点a恰好与bd上的点f重合.展开后，折痕de分别交ab、ac于点e、g，.连接gf.下列结论：①∠agd=112.5°；②tan∠aed=2；③s△agd =s△ogd；④四边形aefg是菱形；⑤be=2og.其中正确结论的序号是 .
解析 由题意可知△aed和△fed关于ed所在的直线对称,有ae=ef,ag=gf,∠ade=∠fde= ∠adb=22.5°.则∠agd= 180°－∠ade－∠dag=112.5°.由于易求得∠age= ∠aeg =67.5°,则ae=ag.因而,ae=ef=fg=ag,四边形aefg是菱形.设ae=k,容易证得 △efb和△ogf均是等腰直角三角形，则eb= k, og = k.因此 eb=2og.所以正确的结论是①、④、⑤，其余结论显然不成立。
例7 （黑龙江齐齐哈尔市） 已知：正方形abcd中，∠man=45°，∠man绕点a顺时针旋转，它的两边分别交cb,dc（或它们的延长线）于点m,n．当∠man绕点a旋转到bm=dn时（如图14），易证bm+dn=mn．
（1）当∠man绕点a旋转到bm≠dn时（如图15），线段bm,nd和mn之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当∠man绕点a旋转到如图16的位置时，线段bm,nd和mn之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
解析 (1)如图17，把△and绕点a顺时针90°，得到△abe，则有dn=be,∠eam= ∠man=45°.进而可证得：△aem≌△amn.所以mn=me=mb+eb=mb+dn.
(2) 线段bm,nd和mn之间存在mn = dn－mb.
点评 平移、翻折和旋转是初中几何重要的三种变换方式，变换之后的几何图形与原图形对应的边、角均相等.巧妙的运用变换的基本性质或构造变换图形，均可以使题目的解答简易而顺畅.
5 与函数图象相结合,注重考察学生的数形结合思想.
例8 （湖南长沙市） 在平面直角坐标系中，一动点p（x，y）从m（1，0）出发，沿由a（－1，1），b（－1，－1），c（1，－1），d（1，1）四点组成的正方形边线（如图18）按一定方向运动。图19是p点运动的路程s（个单位）与运动时间 （秒）之间的函数图象，图20是p点的纵坐标y与p点运动的路程s之间的函数图象的一部分.
（1）s与t之间的函数关系式是： ；
（2）与图20相对应的p点的运动路径是： ；p点出发 秒首次到达点b；
（3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图16中补全函数图象.
解析 （1）图19是正比例函数图象，易求得s与t之间的函数关系式为：s= (t≥0)
（2）从图20的函数图象可以看出，动点p的纵y在运动时随时间t的增大开始时逐渐增大，而后又不变，最后又减小至0，说明p点在正方形的运动路径是：m→d→a→n.由图18、19可知，p点从点m运动到点b的路程为5，速度为0.5，所以首次到达点b需要时间为10秒.
(3)结合图18和图20，分析可得，第1秒之前，动点p从点m向点d处运动；第1至3秒时，动点p从点d向点a处运动； 第3至5秒时，动点p从点a向点b处运动；第5至7秒时，动点p从点b向点c处运动；第7至8秒时，动点p从点c向点m处运动.时间段不同，函数关系不同，因此列分段函数为：当3≤s＜5，y= 4－s；当5≤s＜7，y=－1；当7≤s≤8，y= s－8．补全的函数图象如图21.
点评 函数图象问题是数形结合的数学思想的重要体现，在中 考试 卷中也往往作为具有一定区分度的题目出现。例8是一个分段函数问题，其关键是依据函数图象弄清楚点p在正方形abcd上的哪一段运动,坐标与时间、路程如何变化.
6 与实际问题相结合,注重考察学生构建数学模型的能力.
例9 （湖北荆门市）某人定制了一批地砖，每块地砖（如图21所示）是边长为0.4米的正方形abcd，点e、f分别在边bc和cd上，△cfe、△abe和四边形aefd均由单一材料制成，制成△cfe、△abe和四边形aefd的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图22所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形efgh．
(1)判断图22中四边形efgh是何形状，并说明理由；
(2)e、f在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？
解析：(1) 四边形efgh是正方形．图22可以看作是由四块图21所示地砖绕c点按顺时针方向旋转90°后得到的,故ce=cf =cg=ch．因此△cef是等腰直角三角形.所以因此四边形efgh是正方形.
(2)设ce=x米, 则be=（0.4－x）米,每块地砖的费用为y,有：y= x ×30+ ×0.4×(0.4-x)×20+[0.16- x - ×0.4×(0.4-x)]×10= 10(x -0.2x+0.24) = 10［(x-0.1) 2 +0.23］(0＜x＜0.4).所以当x=0.1米时,y有最小值,即费用为最省,此时ce=cf=0.1米．
点评 实际应用问题侧重考察学生的分析、理解问题的能力，它要求学生准确把握题目内容和要求的基础上，利用已有的数学知识，建立起方程、函数等数学模型，具有一定的难度.例9中的问题(2)就是建立二次函数关系式的数学模型,通过求函数最小值的方法求得答案.
