分部积分在重积分中的应用

重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数积分相比,计算重积分的难易除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要方法是化重积分为累次积分,本文主要是应用定积分的分部积分法,得出二重积分分部积分法的一些结论。
　　我们知道,计算二重积分的主要方法是把二重积分化为累次积分。而且,在把二重积分化为累次积分时,需要根据积分区域d和被积函数的特点,选择适当的次序进行积分。对于先对y后对x的累次积分 或先对x,后对y的累次积分 ,若函数f(t)的原函数不能用初等函数表示出来,在现行数学分析教材中求此类累次积分时,都是交换累次积分的次序后进行计算的。
　　例如,累次积分的求值,由于siny/y的原函数不能用初等函数来表示,所以,它的积分难以进一步求出。事实并非如此,本文拟探讨不交换其次序的积分方法,先计算上面提及的累次积分。
　　例1:计算
　　解:因为是关于x的函数,所以,用分部积分法,得:
　　
　　=1-sin1
　　由此可见,用分部积分法计算这个累次积分不仅避免了因交换次序所必须的画图,还省了确定上下限的麻烦。
　　下面给出用分部积分法计算二重积分的一般结论。
　　引理:若函数f(x,y)与其偏导数fx(x,y)都在矩形区域d=[a,b]*[c,d]内连续,y1(x),y2(x)为定义在[a,b]上其值含于[c,d]的可微函数,则函数
　　 在[a,b]上可微,且
　　
　　定理设函数f(x,y),fx(x,y) d={(x,y)∣a≤x≤b,y1(x)≤y≤y2(x)}
　　y1(x),y2(x)[a,b]xfx(x,y)=af(x,y)(a≠-1为常数),那么
　　
　　
　　证明:因为f(x,y)在d上连续,y1(x),y2(x)在[a,b]上连续可微,所以:
　　
　　由分部积分法,并根据引理,得出
　　
　　
　　由于xfx(x,y)=αfx(x,y),(α≠1),
　　所以f(x,y)+xfx(x,y)=(1+α)f(x,y),
　　于是,得
　　
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　　如果把二重积分 化为先对x后对y的累次积分,也会得出类似的结论。
　　
　　例2:计算
　　
　　解:设f(x,y)=y2sinx2
　　则
　　
　　由分部积分可得出i=1/6