提要学习曲线是一种通过生产者行为学习与经验积累而得到改进的生产产出的特征函数，利用学习曲线可以科学地制定成本计划，改善作业计划、劳动定额与劳力规划、质量改善等。本文还总结了长期质量成本模型，该模型中长期质量成本随累积产量的增加而下降。
　　关键词：学习曲线；曲线拟合；质量控制

　　一、引言
　　据国家统计局统计资料显示，制造业居我国工业的主导地位，占我国工业企业数量的九成以上、主营业务收入的八成以上、利润的七成以上。我国现为世界公认的“制造中心”，提高制造企业的生产效率成为我国工业的头等大事。科学制定生产计划、能力扩展规划、生产批量、劳动定额、成本计划与质量改进等可以提高生产效率，但上述传统方法中，生产产品的单位时间、成本在很长时间（或多个批量）内被假设为定值。而在实践生产过程中，它们是随着产量的增加而下降的。为了更科学地表现这种动态变化带来的影响，本文通过对学习曲线进行分析研究，解释了企业中的一些动态生产运作现象，并给企业的生产运作提供了新的方法。
　　二、单因子学习曲线模型
　　学习曲线源于二战时期的飞机制造业，在飞机装配操作中，随时间的推移，需要投入的直接劳动时间会渐渐减少。1936年美国学者怀特首次在航空工业杂志中提出了学习曲线的实际效果，即就平均水平而言，在飞机制造业的装配操作中，产出增加一倍，劳动时间需求约降20%，即无论第一架飞机用时是多少，第2n架用时只有第n架的80%。把这种在重复生产某一产品时，随产量的增加，单位产品用时有规律的降低的现象称为学习效应。Www.11665.COm这种产品单位用时（或成本等）与产量之间的函数关系对应的直角坐标系中的曲线称为学习曲线。经演进，学习曲线已被广泛应用于航空工业及其他行业中。其中，学习率并非一成不变，它随产品的不同而不同，并且随生产环境的变化也有所不同，如图1所示。（图1）
　　从图1可以看出，学习曲线包括两个阶段：一个是学习阶段，单位产品生产时间随产品数量的增加逐渐减少；另一个是标准阶段，此段的学习效应可忽略不计。不难看出，学习曲线是一种动态生产函数，其对应函数有多种表达形式和数学模型。
　　1、怀特学习曲线模型（基本模型）
　　yi=y1x-b（1）
　　式中：yi-第i单位所需时间或成本；y1-第1单位所需时间或成本；x-生产总数，算到第i单位为止时；b-常数，与学习而取得的进步率有关。
　　产量加倍后与加倍前的累计平均工时之比称为学习率，用r表示，即：
　　r=y2x/yx=（2x）-b/（x）-b=2-b（2）
　　故b=-log2r（3）
　　所以，b随学习率r的降低而增大。
　　2、提高初始效率的模型（斯坦福-b曲线型）。它是早期美国国防部在斯坦福的研究院开发出来的，其表现形式为：
　　yi=y1（x+b）-b（4）
　　常数b的引入用于修正生产初始阶段效率的提高。因为在新产品投产前（或新工作开始前），生产技术准备充足，或有比较详尽的经验可借鉴，或新产品与老产品比较接近，有不少共同作业等，使第一单位产品生产率较高，这时的曲线就在正常学习曲线的中间某段开始缓慢变化。可以看到，当b=0时，该模型退化为基本模型。在生产或工作过程中，由于改进设备、工具，或获得某专有技术而提高效率时，也可采用此模型。
　　3、极限效率模型。当生产或工作量增加到一定程度后，生产过程进入标准化阶段，实际效率增加缓慢。为反映这一情况，可将学习曲线修正如下：
　　yi=a+kx-b（5）
　　式中，a为工作的标准时间或成本，k为常数，由工作性质决定。从（5）式可以看出，x→+∞时，y→a，可以通过求极限得到标准单位时间或成本。该模型表明产量增加到一定程度后进步缓慢，所以在现实生产中老产品的竞争压力大，但市场价格较稳定；新产品进步快，单位成本下降快，市场价格降得也快。
　　三、学习曲线的拟合与预测
　　1、拟合步骤和方法。首先从实际生产中收集数据，然后进行数据处理，剔出明显异常数据，再运用最小二乘法原理对经处理后的数据拟合回归分析，进而得到回归学习曲线，这样就可以通过预测下一批增加产量的单位成本或时间，在实践中检验其准确程度。
　　2、拟合实例分析。某新开发产品的生产情况如表1所示。（表1）这是新开发产品，所以采用基本学习曲线模型，对（1）式两边取对数，得：
　　㏑yi=㏑y1-b㏑x（6）
　　令p=㏑yi，q=㏑x，a=㏑y1
　　则：p=a-bq（7）
　　即转化为一元线性方程，采用最小二乘法将表1转化为表2。（表2）
　　－b=（10∑pq－∑q∑p）/［10∑q2－（∑q）2］=－0.157
　　a=∑p/10－（-b）∑q/10=1.972
　　相关系数为：
　　r=（10∑pq-∑q∑p）/［10∑q2－（∑q）2］1/2［10∑p2-（∑p）2］1/2=-0.9975
　　说明p、q的相关性大，曲线拟合程度高。
　　又因为a=㏑y1，则y1=ea=7.185，即得到该产品的单位生产工时与累计产量的关系为yi=7.185（x-0.157）。

　　四、学习曲线在现代企业管理中的应用
　　学习曲线自在航空业发现后被广泛应用，如估计产品设计和制造时间（成本）、费用预测、工期预测等。
　　1、直接人工工时和成本费用预测。设生产批量为n个单位，第x个单位的生产时间为yx，所需总时间为tn。不考虑学习效应时，有y1=y2=…=yn，则：
　　tn=ny1（8）
　　考虑学习效应时，有：
　　若单位工时费用为l，则总人工费用s总为：
　　s总=tnl=y1ln1-b/（1-b）（10）
　　2、制定工时定额。运用学习曲线研究工时变化，稳定生产后的工时定额应订在曲线的标准阶段（趋近水平），即在现有条件下短期内无法改进之处。在具体操作时，应当注意以下两点：
　　（1）对新产品或新工作，可参照过去类似的工作资料，按前面所述的基本模型求解学习曲线，制订达到标准工时前的临时工时定额，鼓励工作人员学习提高。对于传统的工作，则按照提高初始效率的模型（斯坦福-b曲线型）应用学习曲线。
　　（2）新工人很难达到定额要求时，可能挫伤劳动积极性，这时可以按照研究测定的进学习曲线，予以妥善运用。例如，对于学徒期或熟练期的工人，可按不同百分比分段制定定额要求，鼓励他们迅速达到熟练标准。
　　3、库存订购批量改进。在运筹学存贮论中已提出了基本的经济订购量模型。在该模型中，总存贮成本tic为贮存成本和订购成本之和，即：
　　tic=（q/2）·c2·n+（d·n/q）·c1（11）
　　式中：q为一次订购量，c2为单位物资存贮一年的费用，d为物资年需要量，n为年数，c1为每次订购费用。根据公式（11）可得最小存货成本的订购量，即经济订购批量为：
　　qopt=［（2dc1）/c2］1/2（12）
　　在该模型中，通常把存贮费用c2和订购费用c1当作常数，这对于企业短期存购决策是合适的。但事实上，批量决策一般不是短期决策行为，它是企业经营战略决策的重要组成部分，应该用战略的观点分析批量决策问题。从长期经营的观点来看，每次订购费用不是常数，而是随着订购次数的增加而下降的，所以式（12）中的经济订购量也应该是下降的，总存贮成本也会随着订购批量订购成本符合“学习曲线”的规律。用公式可以表示如下：
　　sn=s1（d·n/q）-b（13）
　　式中：s1为首次订购成本；sn为第n次订购的平均订购成本；b为学习率指数，从而可得到修正后的总存贮成本tic′。
　　tic′=（q/2）·c2·n+（d·n/q）［s1（d·n/q）-b］（14）
　　即：
　　tic′=（q/2）·c2·n+s1（d·n/q）1- b （15）
　　要使总存贮成本最小，必须满足：
　　dtic′/dq=0
　　得经济订购批量：
　　q′opt=［2s1（1-b）（d·n）1-b/（c2·n）］1/（2- b）（16）
　　五、结论
　　本文介绍了学习曲线的几种模型，还举例模拟了对学习曲线进行了回归分析，并探讨了其在现代企业中应用的几个方面，说明了其应用价值的方向。
　　在实际应用中，当生产正常进行时，出现了在学习曲线中描述的缓慢变化情况，说明生产正接近标准化生产阶段，可以进行大批量投产。建立企业的生产数据档案是得到正确学习曲线的关键因素，企业的学习曲线为企业更加有效地进行生产，科学制定生产管理方案提供依据。若生产过程中出现停顿，曲线会中断，需要重新建立学习曲线，并且新技术或工艺的引入会大幅度提高学习率，从而可以改进学习曲线，这些说明学习曲线是一条动态的曲线。应用好学习曲线，将有助于提高企业效率。
　　（作者单位：中国矿业大学（北京））
　　
　　主要参考文献：
　　[1]齐二石.物流工程.北京：高等教育出版社，2006.
　　[2]李坚，李泽等.学习曲线与进步函数-考虑技术进步因素的优化方法.江苏：科学管理，1997.
　　[3]郎志正.质量管理及其技术和方法.北京：中国标准出版社，2003.
　　[4]徐莉，卓四清等.学习曲线在经济订购批量中应用.湖北：武汉电力大学学报，1998.