原文作者：李玉荣

　　［摘　　要］　新课程的基本理念之一是“课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜想、计算、推理、验证等活动过程”．　因此，在几何教学中，教师要重视定理来历的教学，借以丰富课堂教学内容，培养学生探究、创新能力．本文以“hl”定理为例，供教学参考．
 　　［关键词］　图形与证明；“hl”定理；过程
　　遵循“重要的数学概念与数学思想要体现螺旋上升”的原则，苏科版《数学》九年级（上册）第一章为《图形与证明（二）》，通览全章，特色鲜明：知识点似曾相识，而例题极少，每一节安排的内容都是研究定理的证明，凸显了“让学生经历数学知识的形成与应用过程”的理念．教学实践中，一些教师对教材的安排理解不透，感觉每节课内容太“单薄”，对定理的讲解常常一带而过，取而代之的是大量补充解题应用，错过了“让学生更好地理解数学知识的意义”的机会．　其实，一个定理就是一道习题，研究定理的证法，同样能对学生的解题起到极好的示范与启示作用，同时也能极大地丰富课堂的容量．本文以“hl”定理为例抛砖引玉，以期与同行们交流．
 　　《图形与证明（二）》“1.2直角三角形全等的判定”安排的是证明“hl”定理，学生在八年级曾接触并使用过“hl”定理，但没有研究定理的来历，怎样证明这个定理呢？
 　　已知：如图1，在△abc和△a′b′c′中，∠acb=∠a′c′b′=90°，ab=a′b′，ac=a′c′．
　　求证：△abc≌　△a′b′c′．
　　证法1：（北师大版教材）
　　因为∠acb=∠a′c′b′=90°，所以bc=■，b′c′=■．
　　又ab=a′b′，ac=a′c′，所以bc=b′c′，所以△abc≌△a′b′c′（sss）．
　　【点评】北师大版教材利用勾股定理计算出第三边相等，证法简洁，学生首先想到的也正是这种证法．
　　证法2：（苏科版教材）
　　如图2，把△abc和△a′b′c′拼合在一起，使ac与a′c′重合，且点b，b′落在ac的两侧，因为∠acb=∠a′c′b′=90°，所以∠bcb′=180°，即点b，c，b′在一条直线上．因为ab=a′b′，所以∠b=∠b′.　在△abc和△a′b′c′中，
 　　∠b=∠b′，∠acb=∠a′c′b′，ab=a′b′，　所以△abc≌　△a′b′c′（aas）．
　　【点评】苏科版教材是利用拼图法构造等腰三角形来证明的．它不同于常规辅助线的添加，一般使用较少，学生难以想到，且“点b，c，b′在一条直线上”这一步极易忽视．“hl”定理还能用其他方式加以证明吗？课堂研讨就此有了丰富的内容．
 　　■　另两种拼图
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　　证法3：如图3，把△abc和△a′b′c′拼合在一起，使ab与a′b′重合，且点c，c′落在ab的两侧，连结cc′．　因为ac=a′c′，所以∠ac′c=∠acc′.
 　　又因为∠acb=∠a′c′b′=90°，所以∠bc′c=∠bcc′.　所以bc=b′c′．
　　又因为ab=a′b′，ac=a′c′，所以△abc≌△a′b′c′（sss）．
　　证法4：如图4，把△abc和△a′b′c′拼合在一起，使点b，b′重合，且点c，b，c′在一条直线上．因为ac=a′c′，ac∥a′c′，所以四边形acc′a′为平行四边形.　所以aa′∥cc′.　所以∠a′ab=∠abc，∠aa′b=∠a′b′c′．因为ab=a′b′，所以∠baa′=∠ba′a.　所以∠abc=∠a′b′c′.　所以△abc≌　△a′b′c′（aas）．
 　　【点评】　参照课本拼图，稍加点拨，学生就会展开思维得到不同的拼图证法．
　　■　添加辅助线 [论文网] 
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　　证法5：如图5，分别取ab，a′b′的中点d，d′，连结cd，c′d′，则cd=ad=■ab，c′d′=a′d′=■a′b′．　因为ab=a′b′，所以cd=c′d′，ad=a′d′.　又ac=a′c′，所以△adc≌△a′d′c′.　所以∠a=∠a′.　所以△abc≌△a′b′c′（asa）．
 　　证法6：如图6，分别延长ac，a′c′至点e，e′，使ec=ac，e′c′=a′c′，连结be，b′e′，则be=ab，b′e′=a′b′，ae=2ac，a′e′=2a′c′．因为ab=a′b′，ac=a′c′，所以be=b′e′，ae=a′e′.　所以△abe≌△a′b′e′.　所以∠a=∠a′.　所以△abc≌△a′b′c′（asa）．
 　　【点评】添加辅助线应是学生较为擅长的，联想已学过知识，构造全等三角形得到需要的条件从而解决问题．
　　■　其他拼图
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　　证法7：如图7，把△abc和△a′b′c′拼合在一起，使ac与c′a′重合，且点b，b′落在ac的两侧．因为∠acb=∠a′c′b′=90°，所以bc∥b′c′.　假设bc≠b′c′，则四边形b′c′bc是梯形．　又因为ab=a′b′，所以四边形b′c′bc是等腰梯形.　所以∠b′=∠b′c′b.　这显然不成立，所以bc=b′c′．　又因为ab=a′b′，ac=a′c′，所以△abc≌△a′b′c′（sss）．
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　　证法8：如图8，把△abc和△a′b′c′拼合在一起，使ab与b′a′重合，且点c，c′落在ab的两侧．　因为∠acb=∠a′c′b′=90°，所以a，c，b，c′四点共圆.因为ac=a′c′，所以■=■.　所以∠aa′c=∠a′ac′，所以△abc≌△a′b′c′（aas）．
 　　【点评】　这两种拼图学生能拼出，但一时难以证出，可告知学生择机再证．
　　定理的作用不仅仅是用来解题，一个定理本身就是一道习题，尤其是一些重要的定理（如勾股定理、三角形中位线定理等）更是难得的好题．日常教学尤其是复习阶段，教师应有的放矢、与时俱进地引导学生研究定理的证法，从中获取解题方法，拓宽解题思路，使定理的功效充分彰显，也使自己的课堂教学更加丰满．