内容提要：抽象思维能力的发展是数学中一个富有挑战性的目标，从哲学的角度探讨经济数学中的辩证思维，在经济数学中渗透辩证的思维方法，可以使人们对经济数学的认识产生一个新的高度，也是增长思维智慧的最佳方法。

关键词：运动；转化；思维功能；运用

初等数学基本上研究的是常量数学，而经济数学研究的是变量数学。经济数学中的变量已不是考查事物运动的一个断面，而是运动的整个过程，已不是“拍照”而是“录像”了。正如恩格斯曾指出：“初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样；而变量数学，其中最重要的部分是微积分，本质上不外是辩证法在数学方面的运用。而辩证法突破了形式逻辑的狭隘界限，所以它包含着更广的世界观的萌芽。”经济数学中变量的“变”与“不变”，反映了事物运动变化与相对静止的两种不同状态，以及它们在一定条件下的相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一。”这种理念是打开经济数学之门的一把钥匙，也是我们发现事物的规律，把握事物的关键，考察事物的发展过程，研究事物的“变与不变”以及对事物应变能力的强弱，有的放矢地处理问题关键所在。 一、认识经济数学中“变与不变”的辩证关系 微积分的基本思想是极限的思想。我们用极限的思想去讨论函数的两个基本概念：变率与求和，这也就是微分运算和积分运算的起源。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，我们可以从“不变”认识“变”，从有限认识无限。学习微积分也就是要学会灵活运用极限思想去简化和解决实际问题。wWw.11665.cOm

（一）变率问题

在经济管理中，常常会使用变化率的概念，而变化率又分为平均变化率和瞬时变化率（边际函数）。平均变化率就是函数增量与自变量的增量之比。如我们常用到年产量的平均变化率、成本的平均变化率等。而瞬时变化率就是指函数对自变量的导数，即当自变量的增量趋于零时平均变化率的极限。从观念上看，平均变化率是有限且比较初等的概念，而瞬时变化率的概念中涉及极限，是进一层的、比较复杂的无限过程。从计算的着眼点来看，一般经济函数的平均变化率是一个较复杂的函数，要精确计算它是困难的，甚至是不可能的，并且我们在理论研究和实际应用中，往往只需要了解它的近似值就可以了，于是在一定条件下，我们用瞬时变化率函数近似替代平均变化率函数，起到简洁易算的作用。上述思想的几何直观是：用愈高倍的显微镜去观察一条光滑曲线一点的局部微段，曲线和切线就愈来愈密合而难以区分。

（二）求和问题

在经济管理中，还有一类问题是：已知边际函数求总函数（如总成本函数、总利润函数等）在某个范围的改变量（即求总量）。大多数求总量的问题，初等数学无法解决，而使用定积分的方法却能迎刃而解。初等数学不能解决的求总量的问题包含着初等数学不能解决的“变与不变”的矛盾，定积分的方法是辩证的方法，与“总量”一类问题本身所固有的辩证内容相吻合。定积分作为和式的极限，经过化整为零、以常代变、积零为整、无限逼近的过程求出定积分值，它充分体现了整体与局部、总量与部分量、变与不变、近似与精确、量变与质变等矛盾的对立统一。一般而论，曲和直相应变和不变，曲说明方向在变，直说明方向不变。定积分就是运用辩证的变与不变这一对矛盾的相互转化解决问题的。 早在公元3世纪魏晋时期，我国古代数学家刘徽成功地运用“变与不变”矛盾的对立统一思想，通过化整为零，在局部范围内用初等数学的方法求出部分量的近似值，再把这个部分量的近似值用初等数学的方法加起来，逼近总量的近似值，得出圆周率的近似值。刘徽在《九章算术》(263年)方田章“圆田术”中，提出割圆术作为计算圆的周长、面积和圆周率的基础。割圆术的精髓是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。设圆的半径r为l尺，从圆内接正六边出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的面积，当算到192边形时，得出圆周率的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。他指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”并一再对“徽率”声明：“此率商微少”，需要的话，可以继续算下去，得出更精确的近似值。刘徽的割圆术先运用无穷小分割，然后运用极限求和，这类似于一块块砖的边是直的，但是可砌出圆形的烟囱，砖越小（或烟囱越大）烟囱越圆。刘徽的思想架起了通向微积分学的桥梁，而且比古希腊数学家更接近微积分的思想。

（三）实例分析

在经济数学中，变与不变矛盾的相互转化问题很多，例如以下的问题（因文章篇幅所限，仅给出问题的分析）： [分析】我们这样考虑问题：把xoy坐标平面想像成水平面，而把对应的函数z标在垂直方向上，这样在空间直角坐标系的曲面z=f(x，y)恰似在平地上的山峰和山谷一样。山峰的斜率刻画了山峰的陡峭成度。如果问：由南一直向北走，南北方向山峰的坡度有多大？用数学语言来问，即：一直沿x方向走，斜率是多少呢？答案很简单，想求此方向的斜率，可以设y保持不变（即不管东西方向山峰的坡度，把它暂时视作平地，也即将变量y暂时视作常量），然后按一元函数求导的方法求出f对z的偏导数，而在偏导函数中，，，应还原其本来是变量的本质（即东西方向山峰是有坡度而非平地）。

由于上式左端变上限积分函数的积分变量是t，因此被积函数中的变量x要暂时视作常量，由积分运算的性质，它可以提到积分号外面。当将x提到积分号外面后，此时的x是变量，并以变量的形式参与后面的求导运算。 【分析】方程与函数相比，前者是静止，后者是运动。方程的解可视为对应函数在某种特定状态下的值。在研究方程问题时，我们可以从函数的观点出发，化静为动，这样可以化繁为简。

由于方程中xl、xz的系数行列式不为零，于是将方程组中的x3移至方程式的右边（移项就是运动），并将它暂时视作常量，运用cramer求解。最后，将x3还原其变量的本来属性，得到方程组的全部解。可以看成是元素或数（可视作函数中的常量）。小块矩阵在运算中的二重性，折射出变与不变矛盾 的转化与统一。在计算仨： 三引．（复： bnj的过程中，我们先将af、毋暂时视作元素，计算两个二阶方阵的乘积。然后还原av、毋本身是矩阵的属性，计算相关小矩阵之间的运算。最后将数据填人a与b的乘积矩阵中。上述计算过程的思想是复杂的，然而从计算的角度看，它极大地提高了高阶矩阵乘积的运算效率，有着实际运用价值。 二、学习的目的在于掌握并运用“变与不变”的思维功能

    

中国最早最权威的经典《易经》就是讲变的：“《易经》者，变易也。”（《三国志·魏书·三少帝纪》）简单概括《易经》就是告诉人们应当在变动中把握事物、认识事物。有关“不变”的训谕最晚也始于《诗经》：“匪今斯今，振古如兹。”（不是今天才如此，自古以来就如此啊）千年不变的人治礼教数不胜数，举其荦荦大端者，如“以吏为师”、“法先王”、“唯上智与下愚不移”、“不愆不忘，率由旧章”、“天不变道亦不变”、“民可使由之，不可使知之”，等等。通常人们认为，年轻人敢于变化，敢于求新，但少有明确的原则和坚定的立场；而老年人一般过于坚持己见，惮于改变而显得过于固执，缺少新意。纵观人的一生，并不是每个人都能掌握“变与不变”的智慧，有些人即使希望自己能够做到这样，也因为能力的原因不能如愿。由此可见，对“变与不变”的合理掌握是具有智慧的表现。一个人如果掌握了“变与不变”的合理尺度，他就能在瞬息万变的社会中既保持自己的原则立场，也能适应时代潮流。

（一）以史为鉴，审时度势

事情往往有正必有反，有顺必有逆，有利就有不利，有直便有曲，古来如此。善谋国并善某身的政治家，能够从直中见曲，从利中见不利，从不利中见利，抓住事物的本质与特点，制定相应的决策。

春秋战国时期，楚庄王想攻打陈国，于是他派间谍去刺探陈国的国情。侦查人员回报：“陈国城高沟深，储备丰富。”楚庄王听后满意地说：“那么，陈国可以攻伐！”陈国国小储备丰富，说明赋敛繁重；城高沟深，说明民力疲惫。于是，楚国起兵，一举攻下陈国。这就是从曲中见直，从不利中见有利。

越国的范蠡在帮助勾践复国后，采取了一个出人意料的举动——坚持不就相位。经过长期的观察，范蠡认识到，“勾践为人，可与同患，难与处安。”如果继续留在越国，说不定哪一天就要灾难临头。于是决定辞官隐退，并写信给一同辅佐勾践的重臣文仲，劝其早日离开勾践。然范蠡去，文仲留，去者全身而退，留者终被勾践杀害。苏东坡对此评论：“春秋以来，用舍进退，未有范蠡之全者也。”范蠡深知富极祸来的道理，这就是从直中见曲，从有利中见不利。

事物的发展变化，既像圆环一样循环连接，又在每一发展阶段有自己的特点和现实背景。我们应该反复探求事物的连续性和独立性，抓住不同事物的特点，依据不同的事实情况制定不同的决策，依据事物发展完善自己的策略方针。

（二）以狼为师，学狼之长

著名的狼学专家博比．卡耐特博士在他的专著《动物之王》中说：“有时候，我会深深地感叹，狼在某些方面所具有的智慧，是人都不能与之相比的。……狼群有自己的社会组织结构和组织纪律，狼群有自己的信仰，狼群有自己的生活准则和生活目标。为了自己的信仰，为了自己的生活准则和生活目标，它们愿意付出一切，甚至牺牲生命也在所不惜。但有的时候，它们却会毫不犹豫地改变平时遵循的一些原则。对变与不变的把握，充分体现了狼族的生存智慧。要知道：这些智慧即使是人也很少能够完全掌握。”

狼群对捕食对象的选择就体现了它们灵活变化的智慧。由于某些不确定的因素，自然界的某一物种会突然减少。驯鹿是狼群非常喜欢的食物，捕猎也比较容易。但当驯鹿的数量减少时，狼群就尽量减少对驯鹿的捕杀，而是将目光转移到其他动物的身上。因为它们知道，在驯鹿数量急剧减少的情况下继续捕杀驯鹿，就很容易造成驯鹿的灭绝，以后它们就再也不能捕食到驯鹿了。 在草原上，当狼群遇到暴风雪时，狼群的选择可以说是出乎意料，它们不会选择背风的地方，而是迎着风雪冲上去。虽然迎风冲上去异常寒冷，但这样就不会被雪埋葬。

狼群为达到目的所使用的策略是千变万化的，狼绝对不会一成不变地看待问题。在狼看来，变是唯一的不变，以不变应万变，以万变应不变。对变与不变的把握，充分体现了狼族的生存智慧。 在一般情况下，人们总是惯用常规的思考方式，因为它可以使我们在思考同类或相似问题的时候，能省去许多摸索和试探的步骤，能不走或少走弯路，从而可以缩短思考的时间，减少精力的消耗，似乎可以提高思考的质量和成功率。正如一位心理学家说过：“只会使用锤子的人，总是把一切问题都看成是钉子。”然而，这样的思维定势往往会起到一种妨碍和束缚作用，它会使人陷入在旧的思考模式的无形框框中，难以进行新的探索和尝试。常规是人们解决问题的一般性思维，它能凭经验轻车熟路地完成一些工作，解决平常的一些问题，但是总用思维定式来看待事物，那就是傻瓜一个。当然，变化、革新需要很大的勇气，有的人即使意识到了变革的必要性，也没有变革的勇气。因为变革一旦失败，他将受到很大的伤害。但他却没有看到问题的另外一面：如果不进行变革，他同样会在未来遭受巨大的损失，而变革就有成功的可能，成功的变革将为他的事业开创出一片崭新的领域。因此，以狼为师，学狼之长，打破常规，学会变通，运用超长的思维会让我们做得别开生面，教我们创造和发明，教我们从容地面对困难，欣然地面对未来。

 

（三）事在人为，开拓思维的自我

人的思维能力的潜力是很大的，即使再怎样开掘，也不会超负荷。要很好地利用自己这“无穷的宝藏”。

香港富豪李嘉诚出身贫贱，靠做塑料花生意起家，空空两手打出了惊人的天下。他的人生格言：事在人为。

1955年，李嘉诚首次扩张业务，购买了一家正处于倒闭边缘的工厂。他购买了新机器，接了几个月的订单。此时，原工厂的一位职工对他说：“我想提醒你，在这条士美菲路上经商的，没有一个是赚到钱离开的，我的老板来的时候也是雄心勃勃，现在差不多要倒闭了，隔壁那两家也好不到哪里去，你年纪轻轻，损失点定金算了。”李嘉诚感激之余说：“订单我已接下了，机器也已经订好了，如果现在不安装设备生产，我将失信于人，我绝对不愿意这样做。” 李嘉诚搬进去后小心经营，也特别勤奋，结果生意很好，开工一个月就已赚到全年的经营费用。不到一年，隔壁的两家工厂都倒闭了，李嘉诚将这两加工厂也租了过来，直到在其他地方盖了新厂房才搬出去。等他搬离后，许多人抢着要租这几间房。说来也奇怪，其他人在那里就是做不好。李嘉诚说：“风水这个东西，你要信也可以，但是最终还是事在人为，重要的是自我充实，做好自己的工作，相信很多本来人为不可能的事情可以转变为可能，眼光放远放大，发展中不忘记稳健，这是我的做人的哲学。” 世界船王包玉刚投身航运业以后，经过短短十几年的发展，就成为享誉世界的船王。1978年，就在他的船运公司发展到事业的最高峰时，包玉刚却做出了一个令所有人惊讶的决定：减船登陆。因为他预见到世界航运的衰退即将到来。伴随着石油危机，各国对石油运输的需求量相应减少，庞大的油轮此时便成为负担，其昂贵的费用会使船主一夜之间就倾家荡产。包玉刚意识到这个危机后马上把大部分油轮卖掉，此后的四五年中，包玉刚卖掉了超过一半的船只，他用这些钱偿还了所有的债务。几年之后，世界航运进入萧条，许多船运公司负债累累，以至于破产倒闭，而包玉刚的远见使他顺利地避过了大萧条时期的灾难。之后，他进军房地产业，收购九龙仓和会德丰，迅速建立起业务广泛的陆上商业王国。李嘉诚、包玉刚做成了别人不可为的事，靠的是不断开拓思维的自我，以及付出艰辛的劳作。他们原本是普通、平凡的人，而通过努力学习，勤奋工作，善于观察，敢于变革，才使他们与众不同。

（四）改革开放，辩证统一

改革开放作为一场新的伟大革命，要求变化，追求变化．促成变化，但这只是问题的一个方面。另一方面，改革开放又不是一切推倒重来。邓小平同志曾多次用“变”与“不变”指明改革的本质和前途。比如，邓小平在《保持香港的繁荣和稳定》一文中说：“不要拒绝变，拒绝变化就不能进步。这是个思想方法问题。”他在1984年分析改革形势时说：“最大的不变是社会主义制度不变。”这些论述深刻表明，改革开放是变与不变的辩证统一、是继承和发展的辩证统一。30年来，正是因为我们始终坚持这些“不变”，才换来了令人欣喜的“变&r

dquo;：我们积极推进理论创新，但坚持马克思主义基本原理始终不变，马克思主义在中国大地上焕发出勃勃生机；我们大力发展社会主义市场经济，发挥市场的“魔力”，但坚持社会主义基本制度始终不变，避免了两极分化，使广大人民共享改革发展成果；我们推进政治体制改革，坚定不移发展社会主义民主政治，但坚持党的领导地位始终不变，保证了社会安定团结；我们不断增强党的阶级基础、扩大党的群众基础，但坚持党的性质和宗旨始终不变，保持和发展了党的先进性。中国过去30年的发展进步靠的是改革开放，中国现在和未来的发展进步仍然要靠改革开放。在新的更加艰巨繁重的任务、新的更加错综复杂的环境面前，我们必须坚定信念：坚决走充满生机活力的新路，决不走实践证明是封闭僵化的老路，也决不走那种改旗易帜、放弃共产党领导、放弃社会主义的邪路。 在改革开放中，“不变”的是我们的理念、目标和原则，“变”的是我们的方法、途径。