秦汉土地测算与数学抽象化的论文_历史论文

秦汉土地测算与数学抽象化

　　中国古代数学注重实用性，这已是共识，但数学本身具有抽象性特质，也是毋庸置疑的。那么，中国古代数学是如何处于实用性与抽象性之间的呢？它的抽象化过程是怎样的？起于何时？在秦汉即更远的时代，真的只有“实用算法式”数学吗？传世文献里，先于《九章算术》形成的年代，有关数学的材料十分稀少，只能从《考工记》、《墨经》等文献里探寻数学发展的踪迹，而诸多出土文献的整理公布，为我们提供了中国早期数学发展的新材料。本文将以部分出土文献里保存的有关土地管理与测算的材料作为研究的切入点，这是因为土地管理与测算是秦汉时期官吏的一项重要工作，此工作是必须运用数学的，并且这方面的材料也很多。下面将讨论到的有这样一些文献：青川秦墓木牍《为田律》、张家山二四七号汉墓竹简《二年律令·田律》和《算数书》、岳麓书院藏秦简《数》、香港中文大学文物馆藏简牍《河堤简》。
　　不妨先对这几批出土文献做一简述：
　　1.青川秦墓木牍《为田律》¹
　　1979年出土于四川省青川县的战国古墓论文联盟http://群，共两件，其一残损不易辨识，其一清晰可读，记载的是一项土地政策。据木牍起首文字“二年十一月己酉朔朔日，王命丞相戊，内史匽民、臂，更修《为田律》”推断，应为秦武王二年（公元前309年）律令。
　　2.张家山二四七号汉墓竹简《二年律令·田律》和《算数书》^2][3
　　1984年，于湖北省江陵县（今荆州市荆州区）张家山二四七号汉墓出土一批竹简，有1200余枚，保存有《二年律令》、《奏谳书》、《蓋庐》、《脉书》、《引书》、《算数书》、历谱和遣册，这些竹简应与墓主人生前工作职责有关。wwW.11665.cOm《二年律令》共有竹简526枚，推断为吕后二年（公元前186年）施行的法令，其中的《田律》记载了田亩制度。《算数书》的成书年代下限应不晚于西汉吕后时期，共有190枚竹简，其中与土地测算有关的是：启广，启纵，少广，大广，方田，里田。
　　3.岳麓书院藏秦简《数》⁴
　　湖南大学岳麓书院于2007年12月在香港古董市场收购一批秦简，它的形成时间不迟于秦始皇三十五年（公元前212年）。这批简包含《质日》、《为吏治官及黔首》、《梦书》、《数》、《奏谳书》、《秦律杂抄》、《秦令杂抄》。其中《数》里关于土地测算内容有：里田术，[启]田之术，箕田，周田术，以及计算矩形、圆形、梯形土地面积的算题。
　　4.香港中文大学文物馆藏简牍《河堤简》⁵
　　2001年香港中文大学文物馆出版了《香港中文大学文物馆藏简牍》，该书收录了文物馆历年收购的240枚简牍的照片，并有陈松长先生做的释文和简要考证。在这批简牍中有一批内容与河堤相关的简牍，整理者称为《河堤简》。
　　湖南大学学报（社会科学版）2012年第5期肖灿：秦汉土地测算与数学抽象化基于出土文献的研究
　　在分析这些材料时，我们注意到一个词：“田”，它在律令文书里的所指与在数学书里的所指有着微妙的差异，通过分析这种差异，我们推断：中国秦汉时期的数学并不仅仅是实用算法式数学，而是存在一定程度的抽象性。
　　首先看青川秦牍《为田律》所反映的田亩制度：
　　田广一步，袤八则，为畛，亩二畛，一百（陌）道。百亩为顷，一千（阡）道，道广三步。封高四尺，大称其高。捋（埒）高尺，下厚二尺。以秋八月修封捋（埒），正（疆）畔，及癹千（阡）百（陌）之大草。
　　胡平生先生指出：在此条律令里，“则”是量词，1则=30步，依据是1977年在安徽阜阳双古堆西汉汝阴侯夏侯灶墓中出土的一批竹简，其中一片残简上有“卅步为则”的记载。汉字“测”最初的来源可能就是量词“则”。而“畛”若解释为田区，那么《为田律》规定的田亩制度是：1亩=2畛=2×1步×8则=480平方步。因为秦汉每尺约0.23m，所以，1畛≈457㎡，1亩≈914㎡。秦武王二年（公元前309年），距秦孝公十二年（公元前350年）商鞅变法已有四十一年。新的《为田律》把商鞅扩大的亩制再扩大了一倍。扩大亩制可以增加国家的税收，因此秦武王有可能这么做。然而，我们今天见到的传世文献里，仅有“秦田二百四十步”的记载，而没有“田广一步，袤八则，为畛，亩二畛”的记载。¹
　　接着再看张家山汉简《二年律令·田律》所反映的田亩制度：
　　田广一步，袤二百卌步，为畛，亩二畛，一佰（陌）道；百亩为顷，十顷一仟（阡）道，道广二丈。（……）（246）²
　　在这条律令里，如果解释“畛”为田界，就符合了1亩=240步。
　　至今学者们对这两条律令的解释仍存在很多分歧，诸如“阡”、“陌”、“畛”的定义，“亩”的具体形制等问题。不过，我在这一步分析只需要肯定的是：《为田律》和《二年律令·田律》涉及的关于“田”的数学计算是对用于种植的土地的计算，毫无疑问是“实用性”的。
　　接下来节录几条《河堤简》简文：
　　宜成堤凡三百二十三里二十六步，积七十一万九千六百一十[八步]，·凡堤能治者九百二十一里二百四十步，积三百一十八万一千八百一十二步，为田一百三十二顷五十七亩百九十二步。·醴阳江堤三十九里二百二十二步，·凡堤不能治者三百二十一里二百二十七步，·大凡千二百八十三里八十九步，（222正面）

转贴于论文联盟 http://www.ybask.com

　　实三百一十八[万]方一千八百一十二步。·三百人分之，人得四十四亩四十六步有（又）三百分步七十二。[醴阳]堤三十九里二百二十二步。（222背面）⁵
　　这些简文所记载的可能是西汉早期南郡汇集的各县把河堤修治工程按人口分配的情况。这其中的数学计算当然也是“实用性”的，其中的“田”是指的实实在在的土地。
　　然后我们选出几条张家山汉简《算数论文联盟http://书》和岳麓书院藏秦简《数》里关于“田”的算题，与前面的律令文书里的“田”的含义作比较，看看有何变化。
　　方田田一亩方几何步？曰：方十五步卅（三十）一分步十五。术（術）曰：方十五步不足十五步，方十六步有徐（余）十六步。曰：并赢（盈）不足以为法，不足（185）子乘赢（盈）母，赢（盈）子乘不足母，并以为实。復之，如启广之术（術）。（186）（《算数书》） ³
　　广十五步大半=（半）步，从（纵）十六步少半=（半），成田卅二步卅六分步五。述（術）曰：同母，子相从，以分子相乘。（0829）（《数》） 
　　箕田曰：并舌步数而半之，以为广，道舌中丈徹中，以为从（纵），相乘即成积步。（0936）（《数》）
　　周田述（術）曰：周乘周，十二成一；其一述（術）曰，半周半径，田即定，径乘周，四成一；半径乘周，二成一。（j07）（《数》） ⁴
　　在这些算题中，我们发现一个问题：在律令文书里，“田”是用于种植的土地，对于这样的土地，“方田”（矩形的田）是很寻常的，“箕田”（梯形的田）也很可能，但是“周田”（圆形的田）会有吗？或者常见吗？官吏在实际工作中常遇到圆形田地的计算问题吗？田地形状规整平直，这很寻常，形状歪斜曲折也不少见，但正圆形就不寻常了。那么，在当时的数学书里为什么会收录关于圆形田地的计算方法和例题呢？数学书的编纂者是根据实际工作需要编订书的内容，还是根据数学知识体系编订书呢？虽然没有证据证明当时一定有还是没有圆形田地，但我认为，不论是在古代还是在现代，即使“周田”（圆形的田）以及接近圆形的田偶尔会有，却绝不是常见的，所以单从实用的角度说，秦汉时期数学书的作者或编纂者从实际需要的角度想到要给出圆形田地计算方法的可能性是很低的。那时的数学书之所以有“周田述（術）”及例题，主要原因还是为了描述圆形的面积计算方法，此中的“田”未必是指的实际用于种植的土地，而更偏向于虚指的面积概念。“田”作为虚指的面积概念出现在早期数学文献里，典型的例子也见于《九章算术》刘徽注所记载的 “割圆”求圆周率的方法里：“……倍之，为分寸之二百一十，即九十六觚之外弧田九十六所，谓以弦乘矢之凡幂也……”^{6]，此处“田”指的圆的内接正96边形之外的96块弓形面积，当然不是指实际用于耕种农作物的田地。可见在秦汉数学书里，“田”的含义由具体事物转而指向抽象的形和面积概念，这显然是数学抽象化的一种表现。
　　另外，秦汉数学书里的“少广”算题也可能是纯粹数学意义上的运算，与实际生活关系不大。“少广”算题在岳麓书院藏秦简《数》、张家山汉简《算数书》、《九章算术》里都有，内容大致相同。现节录《数》的“少广”算题部分内容如下：
　　少广。下有半，以为二，半为一，同之三，以为法。赤〈亦〉直（置）二百卌步，亦以一为二，为四百八十步，除，如法得一步，为从（纵）百六十（0942）
　　……（其余“下有四分”、“下有五分”等简文从略。）
　　下有十分，以为二千五百廿，半为千二百六十┕，三分为八百卌┕，四分为六百卅┕，五分为五百四，六分为四百廿，七分为三百六十，八分（0958）为三百一十五┕ ，九分为二百八十┕，十为二百五十二，同之七千三百八十一，以为法，直（置）二百卌步，亦以一为二千五百廿，凡六十万四千八百，除（0789）之，如法得一步，为从（纵）八十一步有（又）七千三百八十一分步之六千九百卅九，成田一亩。（0855）⁴
　　算题表述的计算式如下：
　　纵=2401+12=240×22+1=4803=160（步） 
　　……
　　纵=2401+12+13+14+15+16+17+18+19+110=
　　6048007381=8169397381步
　　所谓“少广”，即九数之一。（唐）李淳风注《九章算术》这样解释“少广”：“一亩之田，广一步，长二百四十步。今欲截取其从（纵）少，以益其广，故曰少广。”李籍云：“广少从（纵）多”，“截从（纵）之多，益广之少，故曰少广。”郭书春教授推断“少广”本意是“小广”^{6]。据此，我们将“少广”算题算法表示为下图（以《数》0942简所记算题为例）：
　　图1所示为面积1亩的田abcd，原广1步，纵240步，现将bcfe段截取，一分为二，补在aefd段，则新形成的田广就是（1+12）步，求纵，得160步。这是“下有半”的情况，接下来是“下有三分”、“下有四分”……直至“下有十分”。当“下有十分”
　　图1“少广”算题算法
　　
　　时，田的“广”为（1+12+13+14+15+16+17+18+19+110）步，即《数》0958简、0789简、0855简所记。
　　这类“少广”算题算法是如何在实际生活中得到运用的呢？看算题文字内容，当是关于田地测算的，但我们很难想象在实际测量或分配田地时会遇到这类数据：田地边长为（1+12+13+14+15+16+17+18+19+110）步，以及这一系列的数据。可以说，“少广”算题是为计算而计算，只有纯粹数学意义，这也就说明秦代数学已具有一定的抽象性。
　　但是也存在另一种看法：“少广”的系列算题可能是为了提供给人们多种形态的“亩制”。我们已知秦汉时期的亩制为广1步，纵240步的“长条亩”，这样的“长条亩”制度在实际测量田地时必有诸多不便，“少广”算题给出了“纵”不足240步时的多种亩制，以供测量田地的实际需要，就好比我们用天平称量时用到多种规格的砝码。
　　关于“少广”算题的论述，综合了prof. karine chemla和朱一文博士在欧盟科研项目saw学术研讨中提出的观点。算题原理示意图根据朱一文博士提供的图样重绘。}}转贴于论文联盟 http://www.ybask.com

论文网首页\|会计论文\|管理论文\|计算机论文\|医药学\|经济学论文\|法学论文\|社会学论文\|文学论文\|教育论文\|理学论文\|工学论文\|艺术论文\|哲学论文\|文化论文\|外语论文\|论文格式

		用户注册设为首页
	您现在的位置：中国论文网 >> 文化论文 >> 历史论文 >> 正文	会员中心
历史论文传统文化论文当代中国论文西方文化论文社会文化论文文化研究论文文化战略论文