原文作者：刘娜

　　本部分内容由抛物线的定义、标准方程及其基本性质组成. 在客观题中，突出考查抛物线的定义、标准方程及其基本性质，解答题中主要考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系、弦长公式、曲线导数的几何意义等；同时考查数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想方法，以及运算能力、逻辑思维能力、灵活运用所学知识分析和解决问题的能力.
 　　重点：熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式，会根据抛物线的标准方程研究得出性质，会由几何性质确定抛物线的标准方程. 熟练运用坐标法，理解数形结合思想，掌握相关代数知识、平面几何知识的运用.
 　　难点：把几何条件转化为代数语言，进而把“形”转化为“数”. 选择合理、简捷的运算途径，并实施正确的运算. 灵活利用概念、平面几何知识.
　　1． 抛物线及其性质的基本思路
　　求抛物线方程时，若由已知条件可知方程的形式，一般用待定系数法；若由已知条件可知动点的运动规律，一般用轨迹法；凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意运用韦达定理；解决焦点弦问题，抛物线的定义有广泛的应用，还应注意焦点弦的几何性质，针对y2=2px（p>0），设焦点弦为x=my+■，既方便消元，又可避免斜率不存在的情况；可能的情况下，注意平面几何知识的应用，达到“不算而解”的目的.
 　　２． 抛物线及其性质的基本策略
　　（1）求抛物线的标准方程
　　①定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程.
　　②待定系数法：先定位，后定量.根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式，从简单化角度出发，焦点在x轴上，设为y2=ax（a≠0）；焦点在y轴上，设为x2=by（b≠0）.
 　　（2）焦点弦问题和焦半径
　　①焦半径：抛物线y2=2px（p>0）上一点p（x0，y0）到焦点f■，0的距离pf=x0+■.
　　②通径：过焦点f■，0且与x轴垂直的弦pq叫通径，pq=2p.
　　③焦点弦的性质：过f■，0的弦ab所在的直线方程为y=kx－■（k不存在时为通径）.
　　④弦长：ab=x1+x2+p=■（θ为弦ab的倾斜角）；x1·x2=■，y1·y2= －p2；■+■=■；以弦ab为直径的圆与准线相切.
　　在抛物线y2=4x上找一点m，使ma+mf最小，其中a（3，2），f（1，0），求点m的坐标及此时的最小值.
　　思索 “看准线想焦点，看焦点想准线”，可根据抛物线的定义进行相互转化从而获得简捷、直观的求解. 数形结合是灵活解题的一条捷径.
　　破解 如图1，点a在抛物线y2=4x的内部，由抛物线的定义可知，ma+mf=ma+mh，其中mh为m到抛物线的准线的距离，过a作抛物线准线的垂线交抛物线于m1，垂足为b，则ma+mf=ma+mh≥ab=4，当且仅当点m在m1的位置时等号成立，此时点m1的坐标为（1，2）.
 　　斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点f，且与抛物线相交于a，b两点，求线段ab的长.
　　思索 求焦点弦的弦长有多种方法，既要掌握运算方法，也要考虑一些不算或少算的方法. 数形结合是解析几何中重要的思想方法之一. 一些问题中，充分发挥“形”的作用，可以最大限度地减少运算，“看出结果”. 我们不妨考虑问题的一般情形：斜率为k（倾斜角为θ）的直线l过抛物线y2=2px（p>0）的焦点f，且与抛物线相交于a，b两点，如何“看出”焦点弦的弦长？
 　　如图2，由图可以看出，fa=p－facosθ，fb=fbcosθ+p，所以ab=fa+fb=■+■=■. 求解过程非常直观，在已知直线倾斜角的情形下，可以直接“看出”焦点弦的弦长. 直线斜率存在时，由k=tanθ，
 　　破解 例2中，k=1（θ=45°），p=2，所以ab=8. [论文网]
　　在平面直角坐标系xoy中，f是抛物线c：x2=2py（p>0）的焦点，m是抛物线c上位于第一象限内的任意一点，过m，f，o三点的圆的圆心为q，点q到抛物线c的准线的距离为■．
 　　（1）求抛物线c的方程；
　　（2）是否存在点m，使得直线mq与抛物线c相切于点m？若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由.
　　思索 （1）由抛物线c的标准形式可得点f的坐标和准线方程，由圆心q在弦of的中垂线上可得点q的纵坐标，再由点q到抛物线c的准线的距离列出方程，确定p的值.
　　（2）存在性问题的常用方法是：先假设结论存在，进行演绎推理，若推出矛盾，则否定假设；若推出合理的结果，说明假设成立.
　　思路1：先求切线mq的方程，结合弦of的中垂线方程解点q的坐标，再由点q在弦om的中垂线上解题即可.
　　思路2：先由点q在弦of，om的中垂线上，再结合切线qm斜率的不同形式表示，列出方程思考.
　　1． 立足课本，夯实基础
　　掌握抛物线的定义、标准方程、简单性质等基础知识，深化对基础知识的理解，重视知识间的内在联系，提高应用数学思想方法解决问题的意识和能力.
　　2. 熟练通法，步步过关
　　对相对固定的题型，如弦长问题、面积问题等，解题思路、步骤相对固定，要以课本为例，以习题为模型，淡化技巧，理解通性通法，熟练步骤，能作出合理的算法途径设计，基本问题运算过关，破解“想得出，算不出、算不对”的瓶颈.
 　　3. 重视抛物线的综合问题
　　重视抛物线与直线、圆等的综合研究，尤其是对性质中的一些定点、定值及相关结论的深入探究.高考试题往往有对圆锥曲线某方面几何性质的考虑，对性质深入的探究不在于知道一些结论，而是在这一过程中掌握探索的方法，理解解析几何的基本思想方法.
 　　4. 领悟思想方法，提升能力
　　抛物线及其相关问题的解决，往往蕴含着丰富的思想方法，如数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等，思想方法的理解是知识运用的翅膀，是知识转化为能力的桥梁. 在复习和解题过程中，要理解思想方法的内涵、操作程序，从而提升自己运用知识解决问题的能力.