摘要：通过对给水管网水力计算分析、管网优化设计和可靠性设计的研究与探讨，提出了给水系统可靠性设计的数学模型和解法，为工业给水管网依据可靠性要求设计和改建扩建提供了途径.

关键词：水力计算 优化设计

 

study on analysis and design of reliability of
water-distribution system in industry

　　abstract　the method of the hydraulic calculation and pipe network optimal design and reliability-design of water distribution systems are discussed. the mathematical model of the industrial water distribution systems is set up on the basis of reliability, which makes a preliminary and valuable study on the reconstruction and upgrading of the industrial water distribution systems.
　

  　key words　hydraulic calculations, optimization design, reliability design

　

　在现代科学技术迅速发展的今天，对系统可靠性的要求也越来越高.可靠性分析是系统科学运行管理的重要内容与手段，是评价系统优劣的一项主要指标.给水系统的可靠性是指给水系统能连续可靠地工作、经济合理地保证完成预定的功能.
　　国外对于给水系统可靠性设计研究始于80年代.我国在这方面的研究才刚刚起步，有关的论著文献尚少.给水系统的可靠性是错综复杂的，本身包含的各项因素较多，有如设计施工中的问题、管道材质的问题等.在运行期间，荷载工况的瞬时变化、水泵等设备的材质对可靠性也有影响.为了提高系统的可靠性，需要研究实现系统可靠性设计的理论和方法，以及寻找保证系统可靠性的措施.本文在对这些问题的分析研究，以及对给水管网水力计算和优化设计计算研究的基础上，建立了给水系统可靠性设计的数学模型，并采用matlab语言编制了优化设计程序.在对某钢铁厂给水系统的改造设计中，应用可靠性优化设计研究的理论和方法，作了一次有益的探索.

1　给水管网水力计算分析
　　给水管网水力计算的数学模型包括：
　　1) 节点流量平衡方程

(1)

　　2) 环路平衡方程

(2)

　　3) 水头损失方程

(3)

式中：q_i为节点流量，流量流入节点为正,流出节点为负；q_ij为节点i，j间管段流量,设流离节点时为正,流向节点时为负；h_ij为管段i，j的水头损失;s_ij为管段摩阻;ξ为常数,一般取2或1.852.
　　式(1)～(3)是给水管网水力计算必须满足的3个基本方程.
　　应用图论理论可将给水管网看作是由一些节点和管段连接起来的几何图形，且管段中的水流具有方向性，是一种有向图.管网中的节点抽象为图的顶点，管段抽象为图的边.在管网水力计算中用矩阵来描述管网图，以便计算.
　　式(1)的矩阵表达式为

aq+q=0 ,(1a)

式中：q为管段流量向量,q=［q₁,q₂,…,q_m］^t;q为节点流量向量,q=［q₁,q₂,…,q_n］^t；a为降阶关联矩阵,是节点和管段之间连接关系的矩阵.
　　矩阵a按先连枝、后树枝的次序排列，有

a=［a_l|a_s］.(4)

a_l的列对应连枝为(n-1)×(m-n+1)阶矩阵,a_s的列对应树枝为(n-1)×(n-1)阶矩阵,是非奇异的,其逆存在.
　　式(2)的矩阵表达式为

bh=0 ,(2a)

式中：h为节点水头损失向量，h=［h₁,h₂,…,h_n］^t;b为基本回路矩阵,是描述管网的基本回路和管段关联性质的矩阵.
　　将b按先连枝，后树枝的次序排列，则

　　　　b=［b_l|b_s］=［i|b_s］ ,(5)

式中：b_l对应连枝管段,为单位矩阵，阶数为(m-n+1)×(m-n+1)；b_s对应树枝管段，阶数为(m-n+1)×(n-1)；m为管段数；n为节点数.
　　如果矩阵a和矩阵b的列按相同的管段次序排列，则有^［1，2］

ab_t=0　或　ba^t=0 ,(6)

所以　　　　b_s=-(a^-1_s a_l)^t .(7)

式(4)代入式（1a）得到

a_lq_l+a_sq_s+q=0 .(8)

由式(5)代入式（2a）得到

b_lh_l+b_sh_s=0 ,(9)

或　　　　　　　　　　　　　　　　　h_l=-b_sh_s .(9a)

由式（7）和式（8）得到

q_s=-a^-1_sa_lq_l-a^-1_sq

或　　　　　　　　　　　　　　　q_s=b^t_sq_l-a^-1_sq .(10a)

　　根据上式和基本方程进行管网平差计算.首先求最短树；给连枝管预分配管段流量；按式(10)计算树枝管流量;计算管段水头损失;如果0,需重新调整分配管段流量，引入环校正流量的计算公式：,反复调整管段流量，使或满足所需要的精度.水力计算框图见图1.

图1　管网水力计算框图
fig.1　flowchart of the hydraulic algorithm of network

2　给水管网优化设计
　　给水管网优化设计是在保证供水压力、水量、安全性和可靠性的前提下，计算管网等额年费用现值最小.以经济性为目标函数，将其它作为约束条件.给水管网优化设计的数学模型为

(11)

约束条件

　　　　aq+q=0,(11a)

　　　　bh_j=0 ,(11b)

　　　　　　q_j≥q_min ,(11c)

　　　　　　h_j=kq^ξ_jl_jd^-φ_j ,(11d)

　　　　　　（11e）
　　　(i=1,2,…,n; j=1,2,…,m)

式中：d_j为管段直径；l_j为管段长度；qsi为第i水源节点供水量；h_j为管段水头损失；m为管段数；n为节点数；s为(泵站)水源数；a，b,α,ξ，φ为系数和指数；h_c为控制节点最小允许自由水头；h_p为水泵扬程；z_p为泵轴安装高程；z_c为控制点地面标高.
　　式（11）中，第一项为管网的一次投资；第二项为运行动力费；c₁为动态分析系数^［2］，是考虑投资偿还期的银行贷款年利率以及考虑资金的时间价值和物价浮动因素的管网折旧费与大修理费的一个综合系数；c₂为考虑物价浮动因素与供水费用的经济指标^［2］；hpi为第i水源水泵扬程（m）,

式中：hpo为控制点总水头与第i个水源吸水井水位的高差；m为控制点到第i个水源节点的某一指定方向沿线管段编号的集合.
　　应用拉格朗日未定系数法，目标函数式（11）可表示为

(12)

式中　q为进入管网的总流量.
　　对h_ij求偏导数，使
　　将方程组进行适当变换,消去未知数g,并令λ=φc₂/c₁bαk^α/φ得到新的方程组

(13)

　　方程组数等于管网节点n-1.将式（13）各项除λ得

(13a)

　　并将看作是进入管网总流量q的一部分，用χ_ijq表示，也就是说χ_ij可视为通过管网的总流量q为1时，每一管段的虚流量^［3］.χ_ij在0～1之间，为无因次值.式（13a）可写成

(13b)

q=1时(14)

有　　　　　　　　　　　　　　　　(15)

　　将代入上式，得到管网经济管径公式

　　经济因素　
　　则得　　　　　　　　　　　　　　　　　(16)
　　式（15）是环状网任一管段的经济水头损失公式，根据水头损失平衡方程有

(17)

或　　　　　　　　　　(17a)

　　用表示管段虚阻力.由虚流量χ_ij引起的虚水头损失

(18)

则（18a）
　　上式为环方程，方程数l=m-n＋1.
　　将上式与式（13b）联立求解,可得m个管段的虚流量,然后按式（16）求得各管段的经济管径d_ij.
　　虚流量平差方法与求解管段流量q_ij的平差方法相类似.首先用最小二乘法计算连枝管段流量和虚流量,并应用式（1a），（13b）计算树枝管流量

χ_s=χ_l-a^-1_s(λq) .

　　计算各管段的虚水头损失及各环虚水头损失闭合差，若闭合差r_φ>ε，则求出各环的校正虚流量

　　计算δχ时，由于将多水源管网引入虚节点后转化为单水源管网，分母项不包括该环中的虚管段.根据δχ反复调整各管段的虚流量χ_ij，若闭合差r_φ≤ε时,按式（16）计算出各段的经济管径d_ij,按式（11d）计算经济水头损失，再按水力计算程序进行管网平差计算.管网优化设计程序中，采用matlab语言编制程序，在对某钢铁厂工业给水管网改造设计中，应用证明该程序简练易读，手工预处理数据少，计算速度快.
　　管网优化设计计算框图见图2.

图2　管网优化设计计算框图
fig.2　flowchart of the optimal design algorithm

3　给水系统可靠性设计探讨
　　国内给水系统可靠性优化设计方面的文献较少，目前的研究也只是将供水系统和配水管网的可靠性分别进行分析，而没有综合的分析研究，且尚无完整的设计模型.给水系统的可靠性优化设计问题是一个整数规划和非线性规划的综合型最优化课题^［4］.数学模型的建立是根据给水系统可靠性分析及参数计算为基础^［2］，使供水系统目标函数与配水管网目标函数的和为相对最小值.而数学模型建立的目的，是使给水系统的可靠性优化设计能得到在理论上可行的设计计算方法.所以给水系统的可靠性设计研究的目标是：包括水泵、水池和管网在内的系统可靠性优化设计；系统的可靠性分析主要是管网的水力故障、供水系统的机械故障分析以及确定水泵的优化运行工况.
　　本课题的数学表达式为

(19)

s.t　f(h,d)=0 ,　（19a）

(19b)

(19c)

r(h,d)=r(h,d) ,(19d)

(19e)

(19f)

(19g)

(19h)

式中：第一项为管网造价；第二项为水泵运行费,其中c_in为水泵运行工况n时的年运行费（n =1,2,…,n）; qsi为水泵i的设计流量；第三项为水泵机组的装置费，其中cpi为水泵i的造价；水泵数量i=1,2,…,i;第四项为水池安装费（水池造价）；c_lk为水池造价,水池尺寸数据k=1,2,…,k，数量为l=1,2,…,l；z_i，p_in，s_lk是0～1整数变量，当它们是设计所选用的参数时为1，其他情况时为0.
　　约束式（19a）中f(h,d)=0可以表示为

　　这是管网在任何运行工况都须满足的流量守恒和能量守恒方程.其中，h为节点压力水头；d为管径.
　　约束式（19b）为节点压力水头和水池水位的上限和下限的约束.
　　式（19c）和式(19d)分别为管段直径的界限约束和可靠性参数的约束.
　　在式（19e）中，约束条件是用水高峰时水泵与水池的供水量不小于用水量,其中：
　　第一项为运行工况n时由水泵供水;
　　第二项为水池供水,其中v_lk是水池尺寸为k,数量为l时的贮水池体积;ψ_lkn为在运行工况n时水池向管网供水系数;γ_lkn在运行工况n时水泵向水池供水系数.
　　第三项q_n为运行工况n时，管网总流量.
　　在工业给水管网正常运行时，水池不向管网供水；当系统出现故障时,管网水压降低，高位水池开始向管网供水,保证事故用水^［2］.约束式（19e）为：，断水时水池供水量不小于最小需求水量.
　　式（19f）确定了运行工况的约束，是所选定的水泵在任一荷载工况下的操作运行；如果运行工况不是所选定的，则不允许水泵运行.
　　式（19g）限定贮水池选用时只能为一种尺寸，且式（19h）限定贮水池的蓄水总量必须满足最小需求的蓄水体积v，然后根据用水状态的变化来进行参数优选.对于工业给水管网可以不考虑此两项约束.
　　因此，工业给水管网可靠性设计的数学模型为

(20)

　s.t：式（19a）～（19d），（19f）.
　　式（19）是一个大型的非线性整数规划问题，整数变量是z_i,p_in和s_lk，连续变量是h,d和r.求解该方程组的有效方法是将此课题分成供水系统和配水管网两部分求解.
　　供水系统的目标函数为

(21)

　　s.t： 式（19d）～（19h）.
　　配水管网的目标函数为

(22)

　　s.t：式（19a）～（19d）.
　　上述目标的确定中要使两个目标函数相对最小，而且还必须满足全部约束条件.供水系统目标函数是0～1整数规划问题，采用隐枚举法求解，可以得到相对最优解^［2］.配水管网的目标函数是非线性规划问题，采用管网优化设计程序求出最优解.对于可靠性参数的计算，主要是分析系统能保持正常工作状态的概率，或者说分析故障概率、故障频率、故障循环时间、故障次数的期望值、故障持续时间的期望值以及不满足用水量的期望值.在这里随机过程的分析研究,采用马尔可夫过程来描述系统从运行到故障的随机过程,而不必考虑维修的过程，这样有利于可靠性参数的计算.对于供水系统中的水泵,主要是分析正常运行状态和故障状态的概率和频率,在设定系统为单调增加或单调降低的连续状态中,分析计算系统最小供水能力和最大供水能力是否能满足可靠性要求.在此基础上,分析用水状态频率.由于城市给水系统用水量是由最小能力状态到最大能力状态再由最大到最小状态的连续变量，这使得分析计算增加了难度,因此可简化为2～4种(每天)用水状态来分析状态频率.既要保证目标函数为最小，又必须保证供水量不小于用水量的可靠性要求，最有效的措施是设置水池或水塔，用以贮水和调节用水量，并保证水泵经济运行.上述的系统可靠性优化设计是根据运行工况采用隐枚举法优选的.另外保证系统可靠性还应采取并联系统，其可靠性随并联组分数的增加而提高，例如在管网中可将树状网转变成环状网以提高备用系数.为了建立对给水系统的可靠性约束，文献［4］中综合分析了多种组合系统并对各个可靠性参数所需的等级加权筛选出系统可靠性等级表.表中对可靠性参数：故障概率p(f)(%)、故障频率f(f)(次/d)、故障循环时间ct(d)、故障次数期望值e(n)(次)、故障持续时间总和期望值e(t_m)(d）、不满足用水量总期望值e(tud)(m³）归纳了5种等级的上下界限.根据管网优化计算出的管段直径d和压力水头h，来计算可靠性等级，也就是使用优化设计模型去验算给水系统的可靠性,并根据可靠性参数进行最小费用比较，选出既满足可靠性需要，又使费用为最小的给水管网设计.

4　结论
　　本文通过对工业给水管网水力计算、管网优化设计计算和可靠性设计的研究和探讨，提出了给水管网可靠性优化设计的数学模型和有效解法，并应用到某钢铁厂工业给水系统改建扩建中进行可靠性优化设计.由于该厂始建于50年代，给水系统随着生产的需要不断扩建，其管网为混合管网，主要生产部位为环状网，其它则为枝状网，系统压力偏高，管网可靠性和技术经济指标较低.在系统的改造设计中应用可靠性优化设计模型和解法，提出了给水系统改造的优选方案.该方案与原给水系统比较，节约运行电力648.24　万kw/a，年运行动力费239.85　万元.从节约能源，减少管网故障等方面综合分析获得的经济效益是相当可观的.

参考文献
　1　郑关源.网络图论简介.北京：人民教育出版社,1978.10～15
　 2　黄　炜.钢铁工业给水系统可靠性分析与设计研究.［硕士学位论文］.合肥：合肥工业大学土木工程系，1997
　3　杨　钦，严煦世.给水工程.北京：中国建筑工业出版社，1986.80～83
　4　ning d, larry w m, kevin e l. optimal reliability-based design of pumping and distribution systems. journal of hydraulic engineering, asce,1990,11(2):249～268