【内容提要】在数学思想、内容与方法的历史性变革过程中，数学真理的观代性开始发生转向，逐步表现出一些后现代特征：数学真理从追求形而上学的目标与价值转向追求相对的、多样化的理论构建；数学真理是一个具有不同层次性和等级结构的开放体系；数学真理超越了自然真理的范畴，开始生长出一种新维度——可选择性；形式化与非形式化都是获得数学真理的有效手段。

【英文摘要】in the historical evolution of mathematic thought, content and method, m athematic truth has assumed some postmodern characteristics.the targets of the pursuit of mathematic truth have changed from the objectives and valu es of metaphysics to the relative and varied theoretical constructions.mat hematic truth is an open system with different levels and frameworks. it h as transcended the scope of natural truth and has generated a new dimensio n,i.e.,selectivity.both formalization and non-formalization are effective means of acquiring mathematic truth.

【关键词】数学真理/后现代转向/哥德尔定理/形式化/非形式化
mathematic truth/postmodern turn/godel theorem/formalization/non-for-malization

【正文】
数学真理作为数学认识论的核心问题，既是关于数学知识真实性、客观性、可靠性、可信性的一个重要指标，也是衡量人类科学发展水平的一个基本尺度。wWW.11665.coM文艺复兴以来，随着近代数学的诞生，人们对数学真理的理解达到了新的高度，逐步形成了现代性的数学认识，其主要标志就是以形而上学和柏拉图主义为基调的绝对主义和基础主义的真理观。随着后现代思潮的崛起，现代性的科学观念受到强烈的冲击。在后现代哲学的语境中，人类以往创造的所有知识的合法性都受到了质疑。后现代主义者解构现代性的气势不仅有些咄咄逼人，而且其对现代性的批判的确也不乏深刻性和合理性。当后现代主义对普遍真理、宏大叙事、逻各斯中心主义、本体论和本质主义提出质疑并予以解构之后，作为现代性和科学真理的一个典范——数学，将如何应对后现代的挑战并对其真理性重新定位？这是一个十分重要的科学认识论问题。置身于后现代的语境之中，透过后现代独特的话语视角对数学真理的现代性观念及其内在演化机制进行解读和反思，我们会看到，从1世纪到20世纪，数学无论从思想上、内容上、方法上和体系上都发生了很大的变化，其中许多变化是具有革命性意义的。作为科学知识之主要标志的数学真理及其观念也相应地展现出许多不同于现代性观念的后现代特征。这些新特征极大地丰富了数学真理的内涵，深刻地变革了关于数学真理的现代性观念，开拓了人类理性认识的新维度。可以说，数学真理观正逐步从现代性转向后现代性。尽管如此，数学真理的概念对于数学而言依然是极为重要的，是不能完全解构或取消的。但随着数学的发展，数学真理性的意义将发生深刻的演变。数学并不具有终极的、绝对的、中心化的、惟一不变的认识论基础，数学的真理性具有鲜明的社会、历史和文化特征。
　　一、数学真理从惟一性、终极性向多样性、谱系性的转向
现代性的数学真理观念源自于古希腊毕达哥拉斯—柏拉图主义的数学传统，到17、18世纪，其基本思想趋于成熟。从柏拉图到康德，整个西方数学的文化精神都是以毕达哥拉斯—柏拉图主义的数学传统为基准的。无论是笛卡儿的万能代数方法、莱布尼兹的数理逻辑思想，还是拉普拉斯的用数学方程式精确刻画宇宙秩序的决定论思想，都是现代性数学真理观念的典型产物，其基本特点是对数学真理的惟一性、终极性、绝对性、整体性、永恒性的信仰。康德虽然把纯粹直观作为数学知识判断的一个要素，但这种直观却是先天的。在康德看来，数学是先天的综合判断，是形而上学的典范。这种现代性的数学哲学观作为西方理性主义的一个重要源泉，对西方科学主义思想以及后来的逻辑实证主义科学哲学思潮的形成都具有深刻的影响。
19世纪以来，数学的知识进步发生了持续、内在的变革。作为这一变革的一个重要的认识论突破，开始出现一系列解构现代性数学观念的思想萌芽。首先是非欧几何的诞生和代数学的抽象化。非欧几何的诞生，是数学观从现代性向后现代性转向的一个重要标志。非欧几何瓦解了长期以来人们对数学公理“不证自明”和免予质疑的认识定位。数学公理的选择是一种基于认识必然性规律之上的合乎推理程式的理性与历史的共同抉择。这种抉择不再是惟一确定的而是多样变化的，不再是绝对意义上的而是有了相对的意义。非欧几何所揭示出的新的数学真理品质表明，数学真理并不是像康德所假设的那样，是一种先验的直觉和综合判断。
然而，尽管非欧几何的产生初步改变了人们对数学真理具有惟一性的信念，并初步揭示出现代性数学真理观的内在认识论缺陷，但随着非欧几何的相容性问题的解决，在当时的大多数数学家心中，存在着一个绝对的、终极的和完全确定的数学基础仍是不言而喻的。集合论诞生后，一度被视为建立终极性数学基础的法宝。但随着康托悖论、罗素悖论等一系列数学与逻辑学悖论的不期而至，数学出现了前所未有的基础危机。面对危机，数学界和数理逻辑界的领袖人物雄心勃勃地提出了各自宏伟的数学奠基工程计划。无论是以罗素、怀特海为代表的逻辑主义，还是以希尔伯特为开创者的形式主义，都企图在完全逻辑化、充分形式化和彻底公理化的基础上重新构筑数学真理，以扶正并稳固已经倾斜的整个经典理性主义大厦。逻辑主义和形式主义都相信，数学知识是由无可非议、绝对确定、绝对可靠的为数不多的逻辑的或数学的概念、公理经过严格的逻辑或数学方法推演出来的。他们确信，所有的数学定理都可以从这种完美无缺、固定不变的基础中得到，因而所有的数学真理便可以通过奠定一劳永逸和完全可靠的数学基础而获得。逻辑主义的代表人物罗素阐述道：“逻辑原理和数学知识的实体是独立于任何精神而存在并且仅为精神所感知的。这种知识是客观的，永恒的。”[1](p.219)逻辑主义有两个基本信条：(1)所有的数学概念最终都可以归结为逻辑概念；(2)所有的数学真理都可以单凭公理和逻辑推演规则得到证明。而形式主义者提出了著名的希尔伯特纲领（即关于数学的数学或元数学），其基本思想是：(1)纯数学可表示为不予解释的形式系统，在此系统中数学真理由形式定理来表现；(2)可通过元数学方法，借助于摆脱不相容性来证明形式系统的可靠性。
从认识论的角度看，逻辑主义者与形式主义者都把数学真理建立在绝对、封闭、完备的理念之上，其认识论背景，正是利奥塔所称的“宏大叙事”或“元叙事”、德里达所称的“逻各斯中心主义”和本质主义；在方法论上则是决定论和还原论。所不同的是，形式主义者更偏重于从数学的角度来看待这一问题，而逻辑主义者则期望把逻辑作为认识的起点。从更广阔的知识背景来看，逻辑实证主义在科学与知识的真理标准和判断方面所表现出的强烈的证实主义、还原论和狭隘科学主义倾向，也是与上述典型的现代性数学理念密切相关。
与逻辑主义、形式主义和逻辑实证主义建立普遍的、总体性的数学的意愿相反，20世纪30年代初，奥地利年轻的数理逻辑专家哥德尔发表了在数学、数理逻辑乃至整个科学界都具有划时代意义的不完全性定理（注：哥德尔不完全性定理由以下两条定理组成：(1)足以包括数论在内的任一形式系统中，存在一个不可判定的公式——即一个公式和它的否定都是不可证明的。(2)足以包括数论在内的形式系统的协调性在本系统中不能得到证明。）。哥德尔研究形式公理化体系相容性问题的本意是为了证明希尔伯特纲领，即完成对包括算术系统在内的形式化体系的相容性证明，但最终得到的结果却完全出乎人们的意料。哥德尔定理表明，在任一形式体系中都有不可判定命题存在。由于任一形式体系都无法在自身范围内完成自我解释和说明，所以逻辑主义和形式主义的基于逻辑化、形式化、封闭性和完备性的数学基础主义计划就是无法实现的。数学命题的正确性不仅要受到数学概念是如何界定的、数学公理是如何选择的、数学的论证方式是如何取舍的等多种因素的影响和制约，而且有时候在体系内还是不可判定的。数学的定理不是从毋庸置疑的、绝对无误的前提下，通过绝对可靠的推理规则得到的不容怀疑的绝对真理。数学命题的正确性不仅依赖于可能变换或更替的前提和假设，而且依赖于推理规则的选择和限定。换句话说，数学并没有形而上学意义上的严格性。数学命题、理论的真理性就取决于数学共同体搭建的理论平台和数学语境，因此，数学知识就被赋予了强烈的社会文化性。
从19世纪中叶非欧几何的诞生到20世纪初哥德尔定理的产生这一段历史时期，数学的知识演变逐步解构了以完美性、永恒性和确定性为标志的绝对主义数学真理观。从更深刻的历史背景来看，基础主义数学真理观的危机从根本上表明了现代性意义上的西方理性主义和科学主义已经走到了绝境。逻辑主义和形式主义的一个致命的认识论错误就在于，欲把数学置于机械的、僵化的、教条的、终极的法则和规则之下，把一切已有的或尚未发现的数学思想、理论、方法都归结和还原到固定的、惟一的、不变的、静止的基础主义数学教条上去，其结果只能是扼杀数学的创造性和生命力。实际上，数学研究应该从一举实现关于真理话语的永恒的、终极的、整体的宏大目标转向对局部的、有限的、形成性的和阶段性的目标追求。数学在刻画世界图式、探索宇宙奥秘的同时，更要关注现实问题，如当代科学前沿进展、人工智能与数字化、经济增长与技术进步、由信息、通讯技术所营造的新的社会秩序、新的文化范式等。只有充分地关注并体现时代命题，数学真理才能获得新的意义。20世纪以来数学发展过程中许多重大的理论创新和突破都是这一新的认识范式的产物。例如随机数学、模糊数学、突变理论、分形与混沌理论等。
19世纪后半叶以来的这种有限的、局部的、相对的、富有时代特征的追求真理的态度，显示出数学真理越来越深刻的人类学和谱系学特征。当代数学研究越来越重视从数学的边缘化的、细节的、局部的、奇异的和非常态的部分开拓新的领域。数学家开始越来越多地接受一个没有固定基础的数学体系，承认数学中存在着不可判定命题，对悖论从绝对排斥到相对容忍。还有许多数学难题，如连续统假设、公理集合论的相容性证明等，也一直未获解决。因此，在数学认识活动中，必须放弃那种一蹴而就地达到绝对真理殿堂的奢望，把追求数学真理的过程与目标同人的认识过程相一致，通过实现分解了的、局部的、系列的子目标而逐步迈向整体目标。概括起来看，这一转向的基本特征是，数学真理从追求一劳永逸的终极性目标和拥有一成不变的、形而上学的、绝对永恒的知识体系及其价值，转化为追求分解了的、可实现的子目标和按逻辑程式、知识法则和思维方法所设置的各种可能的、多样化、具有谱系学特征的理论框架。
　　二、数学真理是具有不同层级的、开放的、动态的理论体系
现代性数学真理观的一个基本特征就是对数学理论体系的封闭的、连续的、线性的、简单统一性的认识定位。然而在19世纪以来的数学演变过程中，数学知识结构和理论体系的基础性、封闭性和简单统一性被打破，逐步被更为宽泛多样的、离散的、非线性的、网状结构的、不断变革的和开放的新的数学知识、理论和方法所取代。数学理论的多样化、开放性和知识建构特征不仅使数学知识结构呈现出了层次性，而且赋予了数学真理以更加丰富的内涵。数学真理不仅包括那些由基本的、原始的定义和公理所必然蕴含的重言式，而且也开始接纳和包容那些具有不同程度真理性的命题、判断、猜想、假设和方法。从其确切性相对较高的中心内核到确切性逐渐减弱的外层，数学真理逐渐形成了一个不断生长的动态体系。
皮亚杰深刻分析了数学中的创新具有无限运演的可能性：“数学实体己不是从我们内部或外部一劳永逸地给出的理想客体了：数学实体不再具有本体论的意义；当数学实体从一个水平转移到另一个水平时，它们的功能会不断地改变；对这类‘实体’进行的运演，反过来，又成为理论研究的对象，这个过程在一直重复下去，直到我们达到一种结构为止，这种结构或者正在形成‘更强’的结构，或者在由‘更强的’结构来予以结构化。”[2](p.79)实际上，这种不断变化演进的数学等级结构背后对应着数学真理的等级结构。与之相应的就有一个数学真理可信度的标准，这种标准赋予不同等级的数学真理以不同程度的可信度，这表明后现代的数学真理是一个具有不同层级的理论体系。徐利治和郑毓信进一步指出：“数学真理是具有层次结构的……可以引进适当的‘测度’去作为数学真理性程度的衡量标志或评价标准。”[3](p.18)
后现代的数学真理观在拒绝绝对主义、封闭性和完全自足的观念之后，其认识论上的转向就是赋予数学真理以进化、动态和开放的特征。在此，我们必须弄清的一个重大数学哲学理论问题是：数学在多大程度上是靠得住的？那种把数学视为绝对真理化身的见解和数学具有绝对可靠的、终极不变的基础的观点已被证明是错误的；然而，并不能因为感到数学丧失了经典意义上的确定性而对数学真理性感到绝望和悲观。从整体上看，相当大的一部分数学知识的真理性是取决于其公理体系的可靠性。然而，公理及其体系的可靠性却无法完全从数学中获得确认，它需要从其他的公理、元数学或数学的外部去寻找。罗素在分析了数学真理所具有的归纳主义倾向之后，提出了不同于其最初的逻辑主义实在论的主张，认为为了证明数学是真的，“需要其他的方法和考虑”。[4](p.399)而就数学内部而言，如果仅仅依赖于欧几里得计划、经验主义计划或归纳主义计划等逻辑还原和化归方法，数学的真理意义就会陷入所谓“无穷回归”的永恒危机之中。拟经验主义者的观点是：“数学是数学家做的或做过的事情，它具有任何人类活动或创造所具有的不完善性。”[5](p.42)这种“理性重建”试图展现真实的数学情境，其实质是数学知识的发生论。与波普尔的证伪主义哲学相比，拉卡托斯由于强调数学的历史性和实践性，其学说超越了波普尔而与库恩的范式革命有共通之处。库恩主张把科学置于一个广泛的历史发展背景中去考察，这对于理解数学同样适用。数学是一门不断生长的知识，具有进化和社会学的特征。数学新知识及其真理性将随着知识接受检验程度的提高以及数学内部体系适应性的提高而不断地进行调节、修正和改进。对于经过多项指标检验的数学知识，可以赋予其相对稳定的价值。我们之所以相信科学的计算和方法，是因为它在日常生活、商业贸易、工程技术和科学研究中提供了准确无误的运算结果。正因为如此，人类才敢把载人航天器送上太空。与现实有关的数学命题的真理性随着数学的发展会呈现出越来越精确、越来越丰富的特点。
数学真理的另一个内在特点是，其真理性依赖于其初始理论的假设和约定。亨佩尔指出：“数学的正确性来自于那些决定数学概念涵义的规定，因而数学命题本质上是‘定义为真’的。”[5](p.8)如在十进制中，1+1=2是真理，而在二进制中，1+1=2就成为一个没有任何意义的命题。尽管亨佩尔的论点揭示了数学真理的一个本质属性，但却忽略了数学本质中的不可或缺的经验维度，所以仅仅把数学命题的真假性看作是“定义为真”，是无法展示数学真理的全部风采的。因为并非全部的数学命题的真伪性都能在其公理体系中得到确认，特别是当理论尚不成熟时，相应的真理意义就不可能是明晰的、精确的和完整的。这时候，许多结论和推断具有暂时的、模糊的、似真的、可错的特点。重要的是，无论在哪种情况下，数学真理及其意义都有赖于始终处于动态中的知识创造过程。在此，我们可以体会到为什么数学兼具发现和发明两种品质。数学真理的这一双重性特点体现了人性与知性的辩证统一、主观性与客观性的辩证统一。

　　三、数学对自然真理性的超越及其解释学意义
数学真理从现代性向后现代性转向的第三个基本趋势是，数学真理超越传统数学认识论中的真理符合论、单一真理性和数学实在论观念，开始强调数学真理对自然和其他各种现象的多样化解释。数学真理除了包含已知的应用领域的大量现实性真理和描绘自然现象、刻画自然规律的自然真理之外，还包含着许多在未知领域和理想状态下所广泛进行的理论建构和模式构造。当非欧几何的相容性被牢固地建立在欧氏几何相容性的基础之上时，传统数学真理观的一个预设——数学是对自然真理的精确刻画、数学真理就是自然真理的论点便开始失去了根基。数学概念与客观实在之间并不是完全对等、同一和符合关系。惟一性作为真理的一个普遍特征而数学却不具备。因为存在两组以上具有不同内容（甚至截然相反）的公理体系并行不悖这一事实，这能够导出在数学真理体系中必然具有的多样性观念和随之而来的可选择性观念。黎曼几何的创立者，著名数学家黎曼在1854年就设想，空间的有限区域的结构性质不同于无限区域（包括无穷大和无穷小）的结构性质。这种思想在广义相对论诞生60多年前便已产生，这充分显示了数学在科学进步中的超前和先导作用。黎曼抛弃了康德“综合知识的演绎有惟一的确实结构”的见解，认为就组成科学知识的概念框架而言，数学理论对经验主义的知识起到了一种相对的或辩证的演绎作用。黎曼还认为，非欧几何的诞生表明数学与现实的分离。如在现代几何学中，点、线、面等基本几何概念已从欧氏几何中的抽象的实体意义下摆脱出来，不再被赋予任何实体意义。这种见解的合理性在于，可以允许数学超越以前那种必须有与之对应的经验背景或应用对象的研究范围。现在看来，由于数学处理着对应于十分不同但又有内在联系和统一性的复杂客体及其所展示的各种各样的模式，因此，在一种预设的理论整体统一性和和谐性的前提下，所呈现的多样性和可变性便会不可避免地进入数学真理的范畴。后现代时代的数学真理必须保持一个多重模式并存，同时在体系上相互联系、相互作用、彼此协调的框架。
数学在19、20世纪所取得的一个令人瞩目的成就是数学理论的多样性，这种多样性赋予人们对于数学概念、公理、方法以相对的选择自由。许多数学定义、问题、方法和公理已不再具备绝对的、必然的意义。其中比较典型的例子如“连续统假设”、“选择公理”、“非直谓定义”、“超限归纳法”等。著名数学家彭加勒在《科学的假设》一书中提出以下见解：“数学的创造力归因于对初始假设及定义的自由选择，其后，通过对推演出来的结论和可观察世界的比较，对这些定义和假设加以约束。”[6](p.246)这种自由选择实际上体现了数学共同体的研究范式、学术语境和价值取向。康托宣称：“数学的本质在于其自由。”这一思想作为对长期以来占据数学哲学统治地位的柏拉图主义和形而上学的一种否定，其意义是不可低估的。康德说，规律在哪里，人的自由也在哪里。黑格尔的两句名言：“人作为人是自由的，精神的自由构成了人最特有的本质。”[7](p.21)“必然性的真理就是自由。”[8](p.120)数学真理发展的新特点生动地说明了这一点，数学发展的这种越来越强烈的自由化趋势充分表明人对数学本质及其规律的把握已经达到一个新的水平，人类对于数学的认识正从必然王国迈向自由王国。
这里要澄清的是，数学中的自由是一种相对的自由，而不是绝对的自由。著名数学家马宁指出：“数学的自由只能在严酷的必然的限度内发展。”[6](p.251)这一观点深刻地阐明了数学中的自由这一概念的本质特征。所谓“严酷的必然的限度”无非就是数学世界的法则、规则、自律性和秩序。数学家赫斯(hersh)明确提出，数学对象是由人发明或创造的，但“它们不是随意创造的，而是从已有的数学对象以及科学和日常生活的需要中得到。数学对象一旦被创造出来，就具有了很好决定的，独立的品质”。[9](p.42)这是一种典型的建构实在论立场。由此可见，数学中的自由本质上是人的精神自由与数学内在规律的高度和谐和统一。
既然宇宙万物间复杂多变的关系呈现出多样化的统一，那么从理论与现实的关系看，在数学真理的价值判断中，可选择性就成为数学真理判断的一个必然选择。相应地，可解释性也就成为数学真理的一个新维度。罗杰·琼斯指出，在当代物理学的“任一领域中，基本方程都有可供选择的数学表达，对任一基本方程的数学表达来说，解释的多重性都存在，每一种解释都不可避免地与某种表达能力相关”。[9](p.175)一方面，许多数学理论作为对自然法则、规律和图式的一种刻画日益显示出其精确、多样、广泛和深刻的特点。例如同一偏微分方程可以同时表征从经验直觉上看是迥然不同的现象，而同一现象亦可以用不同的数学模型和理论视角去加以透视。另一方面，由于数学理论构造的需要，许多数学知识（特别是相当数量的纯粹数学知识）可能暂时没有必然对应的现实模型。在这种情况下，对数学真理的认识定位若仅仅囿于现代性观念下的符合论、目的论和反映论就远远不够了。为了使数学尽可能有效地描绘包括自然现象在内的各种现象，就必须全方位地在理论上、逻辑上探讨各种可能性，并允许给予理论的多样性留下充分的解释余地。当数学语言不再与对象实体之间具有一一对应的关系，当数学的理论生成超越了主客体之间的二元对立，当数学的理论构造超越经验本位和实践本位的真理判断之后，数学真理就逐步淡出物质客观实体的视域，转向了自身语言的深层结构框架中。数学真理把其话语的合理性交付给自己的语言体系，数学命题的意义和判断被融合在其结构中的语言关系、句法转换和交互性当中。值得一提的是，在数学基础理论的三大流派当中，以布劳威尔为代表的直觉主义表达了一种类似于后现代思想的语言观。布劳威尔在维也纳的一次著名演讲中表示，即使是纯粹数学也并没有必然可靠的语言。这一观点对维特根斯坦后期的语言学转向，并进而对后现代语言学都产生过影响。由于数学语言把“世界3”的建构实在性作为新的认识论定位，因此就有必要发展出一种关于数学语言与日常语言、数学理论与现实情境之间关系的解释学理论。
　　四、数学形式化的局限性与哥德尔定理的人文意蕴
作为西方逻各斯中心主义和理性至上这一历史文化传统演变与发展的一个必然结果，形式化的思想与方法在19世纪末到20世纪初的数学发展中被推到了极致。数学基础主义者都笃信，一旦基本概念框架、公理结构和推理法则给定，则所有的数学真理均能被演绎出来。前面已经论述过，这一具有强烈现代性特征的数学宏大叙事已经随着哥德尔在1931年发表的不完全性定理而变为泡影。哥德尔定理表明，那种把全部数学知识与真理镶嵌在封闭的形式化、公理化演绎系统中的理想是无法实现的。
哥德尔定理不仅在数学界与数理逻辑学界影响至为深远，而且有着更为深刻的后现代哲学意义。后现代主义的代表人物利奥塔把哥德尔定理视为知识本质发生变化的一个真正范例，这是很有见地的。因为，20世纪以来，语言学转向的一个基本倾向就是意欲消解“主体中心主义”。而人工智能的研究则试图从技术科学的维度上实现人类思维的机器化。理论计算机科学有下述见解：“在广泛的意义上讲，任何一种形式的信息加工和信息的活动（包括大脑的思维活动中的信息加工和信息活动）都可以看作是一个计算的过程。”[10](p.440)“强人工智能”的观点甚至认为：“任何计算仪器，甚至最简单的机械，诸如恒温器的逻辑功能都具有某种精神的品质……精神活动只不过是进行某种定义得很好的、经常称作算法的运算。”[11](p.17)这些观点已经构成了对人的精神与理性认识本质的严峻挑战。而后现代主义的代表人物福柯则模仿尼采的“上帝死了”声称“主体的终结”。一时间，人类认识的主体性地位面临着被物化、被异化、甚至有被取消的危险。那么，究竟应该如何看待人的认识主体性呢？如何消解“强人工智能”对算法化、形式化的盲目崇拜呢？
毋庸置疑，把人类的认识活动纳入高度的形式化框架是科学发展的一个里程碑。计算机技术日新月异的发展不仅使得计算机在许多方面都远远超过人脑，而且开辟了理解人类精神现象及其本质的新方向。随着诸如人工智能等高技术的发展，人类社会将产生持续、巨大的变化。但这是否意味着机器能完全替代人脑呢？用数学语言来表述就是，人的思维和心智活动在过程和性质上是否可以完全算法化呢？算法化、形式化是否就是智慧的全部呢？哥德尔定理告诉我们，形式化和算法化是无法形成自我封闭的完备体系的。奈格尔和纽曼则进一步指出：“哥德尔不完全性定理表明，即使在基本数论中也有数不清的命题是不能用这种公理化方法解决的。无论机器设计得多么好，运算得多么快，它都不能对这些问题作出回答……哥德尔定理表明，人脑的能力和结构是至今任何非生命的机器所不能比拟的。”[2](p126)西尔勒中文屋子的理想实验（注：西尔勒中文屋子的理想实验是美国哲学家约翰·西尔勒所设计的一种理想试验，其目的是为了反驳电脑具有智慧和精神品质，而人的精神活动只不过是进行某种定义得很好的算法的运算的强人工智能观点。详见彭罗斯：《皇帝新脑》，湖南科学技术出版社1996年版，第17-18页。）强有力地表明电脑等非生命机器的“思维”与人类智慧具有本质的不同。数学家马葛纽斯(magnus)这样论述道：“人类的智慧要优于任何可以想象得到的计算机……我们的数学能力，为我们在自然界中所处的特殊地位提供了也许是最简单，但也是最强有力的，非形而上学的证据。”[13](p.243)数学固有的非算法本质表明数学真理绝不仅限于用形式化方式加以表征。人类的思维和精神是不可能被完全模拟的。哥德尔不完全性定理告诉我们，数学认识活动和数学思维的本质决不是形式化、算法化、程序化和机械化所能完全概括的。
必须看到的是，哥德尔不完全性定理并不意味着人的数学认识能力的局限性，它只是表明了类似于形式主义、逻辑主义和人工智能所倡导的极具现代性科学语言学表征的形式化语言的某种不可避免的、难以克服的局限性。哥德尔本人就清楚地指出，他的不完全性结果“丝毫没有给人类理性的力量设立界限，而只是给数学中纯形式体系的潜能设立了界限”。[14](p181)虽然目前形式化的趋势仍十分强劲，其作用亦不可低估，尽管算法化作为数学的一个基本特点使得诸如机器证明等新兴数学范式炙手可热，数学也将继续给予人工智能和计算机科学以丰硕的理论与技术支援，但在构造性、算法化与形式化之外仍有着广袤的数学疆域。非形式化作为与形式化互补的认识方法，作为数学发现的方法同样蕴含着丰富的真理素材和揭示新真理的可能性。而形式化语言在认识论上的盲点只有依靠非形式化才可消除。由于形式语言的局限性，数学真理及其判断并不完全局限在形式化语言的逻辑框架内。哥德尔认为形式语言都面临着以下困难：“一种语言中的某个句子的真理概念是不能由这一语言确定的。”[15](p.76)波兰逻辑学家塔斯基在1933也独立地得出这一结论。立足于后现代数学语言学的视角下，我们可以清楚地看到西方传统的逻辑化—理性化精神本质的内在缺陷。从中更可以看出哥德尔不完全性定理这一20世纪最重要的数理逻辑成果的后现代里程碑意义。更进一步看，我们认为，哥德尔不完全性定理的意义已经超出了科学认识论的范畴，而带有了深刻的人文价值和浓厚的终极关怀意味，它显示了人的主体性认识地位的终极性和基始性。
在西方中世纪基督教文化传统中，人曾被置于上帝之下、万物之上的特殊地位。然而，自近代思想启蒙运动以来，哥白尼的日心说、达尔文的进化论却分别摧毁了人类居所宇宙中心论和物种至高无上性的思想。而随着现代人工智能研究的进展，人的精神与思维的主体性地位也开始被动摇。实际上，近代的日心说与进化论并没有对人文精神和人的主体性构成实质性的威胁，但当人的主体意识、人的精神与思维活动可以被模拟、被物化、被复制，甚至最终被替代时，这才是一种真正的人文精神和人道主义的危机。所幸的是，在数学真理的后现代发展中，人终于能够坚守住关于人的本质的最后一道防线：在一切认识活动中，人的最终主体性地位与终极性价值是无法取代和不可动摇的。这或许是数学真理观的后现代转向对关于人的主体性及其意义的一个异质于激进的后现代解构主义立场的基本认识论和价值论定位。

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