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对二次函数在高中阶段的应用进行探索
【中图分类号】g633.3 【文章标识码】a 【文章编号】1326-3587(2014)04-0113-01
  在初中教材中,对二次函数作了较详细的研究,由于初中学生基础薄弱,又受其接受能力的限制,这部份内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解。进入高中以后,尤其是高三复习阶段,要对他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用,对二次函数还需再深入学习。
  一、进一步深入理解函数概念
  初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合a(定义域)到集合b(值域)上的映射?:a→b,使得集合b中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合a的元素x对应,记为?(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素x在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:
  类型i:已知?(x)= 2x2+x+2,求?(x+1)
  这里不能把?(x+1)理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值。
  类型ⅱ:设?(x+1)=x2-4x+1,求?(x)
  这个问题理解为,已知对应法则?下,定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1,求定义域中元素x的象,其本质是求对应法则。WWw.11665.coM
  一般有两种方法:
  (1)把所给表达式表示成x+1的多项式。
  (x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得?(x)=x2-6x+6
  (2) 变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。
  令t=x+1,则x=t-1 ∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6从而?(x)= x2-6x+6
  二、二次函数的单调性,最值与图象
  在高中阶阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间(-∞,-b2a ]及[-b2a ,+∞) 上的单调性的结论用定义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一步充分利用函数图象的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
  类型ⅲ:画出下列函数的图象,并通过图象研究其单调性。
  (1)y=x2+2|x-1|-1
  (2)y=|x2-1|
  (3)= x2+2|x|-1
  这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示,然后画出其图象。
  类型ⅳ设?(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。
  求:g(t)并画出 y=g(t)的图象
  解:?(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1时取最小值-2
  当1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2
  当t>1时,g(t)=?(t)=t2-2t-1
  当t<0时,g(t)=?(t+1)=t2-2
  t2-2, (t<0)
  g(t)= -2,(0≤t≤1)
  t2-2t-1, (t>1)
  首先要使学生弄清楚题意,一般地,一个二次函数在实数集合r上或是只有最小值或是只有最大值,但当定义域发生变化时,取最大或最小值的情况也随之变化,为了巩固和熟悉这方面知识,可以再给学生补充一些练习。
  如:y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1),求该函数的值域。
  三、二次函数的知识,可以准确反映学生的数学思维
  类型ⅴ:设二次函数?(x)=ax2+bx+c(a>0)方程?(x)-x=0的两个根x1,x2满足0  (ⅰ)当x∈(0,x1)时,证明x<?(x)  (ⅱ)设函数?(x)的图象关于直线x=x0对称,证明x0< x2 .
  解题思路:
  本题要证明的是x<?(x),?(x)  (ⅰ)先证明x<?(x),令?(x)=?(x)-x,因为x1,x2是方程?(x)-x=0的根,?(x)=ax2+bx+c,所以能?(x)=a(x-x

1)(x-x2)
  因为00,又a>0,因此?(x) >0,即?(x)-x>0.至此,证得x<?(x)
  根据韦达定理,有 x1x2=ca ∵ 0?(0),所以当x∈(0,x1)时?(x)<?(x1)=x1,
  即x<?(x)0)
  函数?(x)的图象的对称轴为直线x=- b2a ,且是唯一的一条对称轴,因此,依题意,得x0=-b2a ,因为x1,x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根,根据违达定理得,x1+x2=-b-1a ,∵x2-1a <0,
  ∴x0=-b2a =12 (x1+x2-1a )  二次函数,它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数,可以以它为代表来研究函数的性质,可以建立起函数、方程、不等式之间的联系,可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题,考查学生的数学基础知识和综合数学素质,特别是能从解答的深入程度中,区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
  二次函数的内容涉及很广,本文只讨论至此,希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识,使我们对它的研究更深入。
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  •  作者:佚名 [标签: 函数 高中 应用 ]
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