离散数学中关系性质的判定方法

　　关系的概念是离散数学中关系的基础，又是集合概念的应用，因此应该真正理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。而关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握，又是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。对于四种性质（自反性、对称性、反对称性、传递性），有如下方法加以判定：
　　一、依据其定义
　　1.自反性：
　　设r是集合a上的二元关系，如果对于每一个a∈a，若有（a，a）∈r，即ara，则称r在集合a上具有自反性。
　　2.对称性：
　　设r是集合a上的二元关系，对于任意的a、b∈a，若有（a，b）∈r，就有（b，a）∈r，则称r在集合a上具有对称性。
　　3.反对称性：本文由论文联盟http://收集整理
　　设r是集合a上的二元关系，对于任意的a、b∈a，若（a，b）∈r且（b，a）∈r时，必有a=b，则称r在集合a上具有反对称性。
　　4.传递性：
　　设r是集合a上的二元关系，对于任意的a、b、c∈r，若（a，b）∈r，且（b，c）∈r，就有（a，c）∈r，则称关系r在a上具有传递性。
　　二、依据关系矩阵和关系图的关系
　　1.关系r具有自反性，当且仅当在关系矩阵中，主对角线上元素全为1；或者在关系图中每个结点上都有一条自回路。WwW.11665.cOm
　　2.若关系r具有对称性，当且仅当关系矩阵是对称矩阵；或者在关系图中，若两个结点间存在有向弧，必是成对的。
　　3.若关系r具有反对称性，当且仅当关系矩阵中以主对角线为对称轴的对称元素不能同时为1（可以同时为0），而主对角线上的元素是1或者是0；在关系图上，若两个结点间存在有向弧，不可能成对出现，结点可以有自回路。
　　4.若关系r具有传递性，关系矩阵没有明显特征。关系图的特点是：任意两个结点a、b间若能通过一条以上的弧间接连结起来，则必有一条直接从a到b的弧。作为它的一种特殊情况，若两点间各有一条直接从a到b和由b到a的弧连接时，则在这两个结点a、b上必然各有一条自回路。
　　对于传递性的判定，难度稍大一些，要注意两点：一是不破坏传递性定义，可认为具有传递性。如空关系具有传递性，同时空关系具有对称性和反对称性，但是不具有自反性。二是介绍一种判定传递性的“跟踪法”，即若（a1，a2）∈r，（a2，a3）∈r，l（ai-1，ai）∈r，则（a1，ai）∈r；如若（a，b）∈r，（b，a）∈r，则有（a，a）∈r，且（b，b）∈r。
　　例1、设集合a={a，b，c，d}，判定下列关系哪些是自反的、对称的、反对称的和传递的：r1={（a，a），（b，a）}，r2={（a，a），（b，c），（d，a）}，r3={（c，d）}，r4={（a，a），（b，b），（c，c）}，r5={（a，c），（b，d）}。
　　解：依据关系性质的定义，可判定：均不是自反的；r4是对称的；r1、r2、r3、r5是反对称的；r1、r2、r3、r4、r5是传递的。
　　例2、设集合a={1，2，3}上的关系r1={（1，1），（2，2），（3，3）}，r2={（1，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3）}，r3={（1，2），（2，3），（3，1）}，r4=ψ，说明每种关系所具有的性质。
　　解：先做出关系矩阵，再依据其规律加以判断。
　　1 0 0 1 0 0
　　mr1= 0 1 0 mr2= 0 1 1
　　0 0 1 0 1 1
　　0 1 0 0 0 0
　　mr3= 0 0 1 mr4= 0 0 0
　　1 0 0 0 0 0
　　由判定方法二知， r1具有自反性、对称性、反对称性与传递性；r2具有对称性与传递性；r3具有反对称性；r4具有对称性、反对称性与传递性。