原文作者：张艳奎

　　[摘要]新疆吐鲁番地区出土过两件算学文书：一件是编号为60 tam 316：08/1（b）的《古抄本乘法诀》文书，另一件是《大谷文书集成》（第二卷）中的第3632号《数字习字纸片》文书。两件文书都损毁严重，大部分字迹难于辨认，但是研究文书的内容，却可发现当时边疆地区的教育信息，反映出当地不仅有普通的《千字文》、《急就章》等教育内容，而且还有数学教育，侧面说明当地教育的多样性。
　　[关键词]《吐鲁番出土文书》；算学文书；数学教育
　　[中图分类号]k877.9 [文献标识码]a [文章编号]1005-3115（2012）22-0022-02
　　一、两件文书录文
　　（一）60 tam 316：08/1（b）号文书录文
　　1960年，在新疆吐鲁番阿斯塔纳316号墓出土了一件编号为60 tam 316：08/1（b）的文书，《吐鲁番出土文书》的整理者将其定名为《古抄本乘法诀》。①为了便于研究和讨论，笔者在下面附上了这件文书录文：
　　[前缺]
　　1.究（玖） ～拔（捌）拾
　　2.究（玖）陆拾叁 伍～贰五
　　3.法（陆） 究（玖） ～拔（捌）拾壹 拔（捌）究
　　（玖）柒拾贰②
　　（二）大谷3632号文书录文③
　　在《大谷文书集成》（第二卷）中第3632号文书亦是算学文书，这件文书出土自新疆吐鲁番地区，由日本大谷探险队在新疆盗掘所得。《大谷文书集成》的整理者小田义久等将其定名为《数字习字纸片》，并且确定于唐西州时期。WwW.11665.coM④以下是文书整理者所做的录文：
　　三五六○ 数字习字纸片 7×4 [图版八三]
　　（前欠）
　　1.五十五 五十五*
　　2.五十六 五十六*
　　（后欠）⑤
　　二、对两件文书的分析
　　（一）60 tam 316：08/1（b）号文书分析
　　关于这件文书的年代，《吐鲁番出土文书》的整理者有如下描述：
　　本墓经盗扰，无墓志及随葬衣物疏，所出文书亦无纪年，但一买田契系蓝笔书写。蓝笔书写之文书常见于高昌时期，因将本墓所出文书至于高昌时期之末。⑥
　　该墓出土的文书共有三件，涉及“买田契”的文书是60 tam 316：08/1（a），可见《吐鲁番出土文书》的整理者将这件编号为60 tam 316：08/1（a）的文书时间作为该墓文书所在时期的参考。另有《吐鲁番出土文书》整理者对60 tam 316：08/1（b）号文书有如下说明：
　　本件纪年残缺，且背部涂墨渗透，字多不易辨识。系蓝书。⑦
　　而“背部涂墨”的文书即为60 tam 316：08/1（a）号文书，整理者根据“蓝笔书写”将之确定为高昌时期。
　　文书第二行最后为“伍～贰五”几个字，书写者在此处用省略符号“～”表示的应该是“伍”字。
　　文书第三行第一个字是“法”，《吐鲁番出土文书》的整理者认为，这里的“法”字应该指代的是“陆”，将其录文为“法（陆）”。
　　文书第三行紧接着“法”字的是“究（玖） ～拔（捌）拾壹”。《吐鲁番出土文书》的整理者认为，“究”应是“玖”字，“拔”则是“捌”字。笔者认为，其中的符号“～”则应该是前一个字“究”的省略写法，
　　文书第三行最后几个字为“拔（捌）究（玖）柒拾贰”，《吐鲁番出土文书》的整理者认为，“拔”则是“捌”字，“究”应是“玖”字。
　　（二）大谷3632号文书分析
　　这件《大谷文书集成》中的3632号文书损坏严重，只有两行。第一行书写有六个字，即“五十五、五十五*”，后面的“*”是指“五”字残缺；第二行也书写有六个字，即“五十六、五十六*”，后面的“*”是指“六”字残缺。两行的书写内容单一，但却是数字习字的练习，可见当地的数学教育具有一定的方法和水平。
　　三、对两件文书的认识
　　乘法口诀最早的称谓是“九九”，这在中国有着悠久的历史。⑧这两件文书虽然残缺严重、字迹不清、内容简单，但还是可以反映一些问题：
　　其一，中国古代的算学一直处于世界领先地位，从三国魏晋南北朝时期开始，不仅有著名的数学家，如李撰、陆绩和祖冲之等；而且也有数学专著以及巨大的数学发现，如《九章算术》、《缀术》和圆周率的测算，这都是古代劳动人民智慧的象征。隋朝时期设有算学博士一职，唐代甚至举行算学考试制度，算学发展可见一斑：⑨
　　国子寺，统国子、太学、四门、书算学，各置博士……书、算各二人。助教……书、算各二人。学生……书四十人，算八十人。
　　——《隋书》卷28
　　高宗龙朔二年，乙巳，复置律、书、算、三学。
　　——《旧唐书》卷4
　　凡算学，《孙子》、《五曹》共限一岁，《九章》、《海岛》共三岁，……《缀术》四岁，《辑古》三岁，《记遗》、《三等数》皆兼习之。
　　——《新唐书》卷44
　　其二，除了新疆吐鲁番地区，在其他地方也有这类“乘法诀”出土，由此可见算学作为一种文化技艺在对外交流中发挥的巨大作用。现将考古发掘出的“乘法诀”列表如下：⑩
　　考古发掘出土的“乘法诀”列表[论文网]
　　其三，这件文书的书写者在书写“乘法诀”时，并没有按乘法诀的顺序将口诀完整书写，因为短短的三行就重复出现了“究（玖） ～拔（捌）拾”，这是否可以说明书写者是在识记练习，或者说是在初学阶段。
　　其四，这件文书用毛笔书写，但由于背部涂墨渗透，导致文书漫漶不清，字体难以辨认，给研究带来了不便。但是从依稀可见的字中发现书写者书法功底深厚、书写流畅，可见当地深受汉文化影响。
　　其五，这件文书也反映出当时新疆吐鲁番地区的人不仅要学习《急就章》、《千字文》、《论语》等典籍，还要学习数学，并且作为学习的一个方面，数学已经在当地的教育中占有一定位置。
　　[注释]
　　①②⑥⑦国家文物局古文献研究室、新疆维吾尔自治区博物馆、武汉大学历史系编：《吐鲁番出土文书》（以下简称《吐鲁番出土文书》），文物出版社1981年版。
　　③大谷3632号文书是《大谷文书集成二》中第3632号文书的简称。
　　④⑤日·小田义久：《大谷文书集成二》，日本法藏馆1990年版，第136页。
　　⑧郭金彬、孔国平：《中国传统数学思想史》，科学出版社2004年版，第13页。
　　⑨李俨：《中国算学史》，商务印书馆1937年版，第36页。
　　⑩此列表参考王焕林：《里耶秦简九九表初探》，《吉首大学学报》，2006 年第11期，有改动。
　　11罗振玉、王国维：《流沙坠简·小学术数方技考释·术数类》，中华书局1993年版，第92页。
　　12据《新唐书·高昌传》记载，高昌国时期为公元460～640年。
　　13唐代西州时期是指从公元640年唐灭高昌置西州开始至“安史之乱”前后的这段时间。