原文作者：张绍川
随机抽样
（★★★★）必做1 某校有4000名学生，各年级男、女生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，则应在高二抽取的学生人数为_______.
精妙解法 依表知x+y+z=4000-2000=2000，=0.2，于是x=800，故高二的学生人数为y+z=1200，那么在高二抽取的学生人数为1200×=30名.
极速突击 进行分层抽样时应注意以下几点：（1）分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且不重叠；（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性要相同；（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法.
（1）常见的随机抽样方法有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，都是不放回抽样，它们之间的联系和区别如表2所示.
（2）解决有关随机抽样问题，首先要深刻理解各种抽样方法的特点和实施步骤，其次要熟练掌握系统抽样中被抽个体号码的确定方法及分层抽样中各层人数的计算方法；抽样方法经常交叉起来使用，如分层抽样，若每层中的个体数量仍很大，则可辅之以系统抽样，系统中的每一均衡的部分，又可采用简单随机抽样.
用样本估计总体
（★★★）必做2 某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为1∶2∶3，则购鞋尺寸在[39.5，43.5）内的顾客所占百分比为________.
[0.0875][0.0375][频率
组矩] [35.5][37.5][39.5][41.5][43.5][45.5][尺寸]
图1
精妙解法：后两个小组的频率为（0.0375+0.0875）×2=0.125×2=0.25，所以前3个小组的频率为1-0.25=0.75.
又前3个小组的面积比为1∶2∶3，所以第三小组的频率为×0.75=0.375，第四小组的频率为0.0875×2=0.175，所以购鞋尺寸在[39.5，43.5）的频率为0.375+0.175=0.55=55%.
极速突击 （1）在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1；（2）每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量；（3）在频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率除以组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率.
变量的相关性
（★★★）必做3 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验. 根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程[^][y]=0.67x+54.9.
表3
[零件个
数x（个）＼&10＼&20＼&30＼&40＼&50＼&加工时
间y（min）＼&62＼&＼&75＼&81＼&89＼&]
现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为________ .
精妙解法 由已知可得==30，代入[^][y]=0.67x+54.9，得=75，设模糊数据为m，由=75，得m=68.
极速突击 线性回归方程过点（，）.
（★★★★）必做4 一场“厉行节约，反对浪费”的“光盘行动”悄然展开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘行动”，得到如下的列联表：
表4 [论文网]
[＼&做不到＼&能做到＼&男＼&45＼&10＼&女＼&30＼&15＼&]
表5
[p（k2≥k）＼&0.10＼&0.05＼&0.025＼&k＼&2.706＼&3.841＼&5.024＼&]
附：k2=
参照附表，得到的正确结论是
（ ）
a. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘行动’与性别有关”
b. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘行动’与性别无关”
c. 有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘行动’与性别有关”
d. 有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘行动’与性别无关”
精妙解法 由已知条件可得k2==3.030，因为3.030>2.706，所以有90%的把握认为“市民性别与支持该活动有关系”，故选c.
（1）求线性回归直线方程的步骤是：作出散点图，判断两个变量是否线性相关；如果是，利用公式求出[a][^]与[b][^]的值，写出回归直线方程；再利用求出的方程进行估计.
（2）利用独立性检验可以考查两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，具体做法是：根据观测数据，计算由公式k2=所给出的检验随机值k，并且k的值越大，说明“两个变量有关系”的可信度越大.
古典概型
（★★★）必做5 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（ ）
a. b.
c. d.
精妙解法 设正方形的4个顶点为a，b，c，d，从中任选两个顶点连成直线，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种不同选法，故甲、乙各从正方形四个顶点中任选两个顶点连成直线，共有基本事件6×6=36个.
设甲、乙两人各取两个顶点连成直线，所得两条直线互相垂直的事件为m，则m所包含的基本事件如下表：
表6
[甲＼&ab＼&bc＼&cd＼&ad＼&ac＼&bd＼&乙＼&bc＼&ad＼&ab＼&cd＼&ad＼&bc＼&ab＼&cd＼&bd＼&ac＼&]
共包含10个基本事件，所以p（m）==，故选c.
极速突击 对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件个数n与事件a中包含的结果数m，再利用公式p（a）=求出事件的概率. 对一些情景较为简单、基本事件个数不是太大的概率问题，计数时只需要用
枚举法即可计算随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率，但应特别注意，计算时要严防遗漏，绝不重复.
（★★★★）必做6 设函数f（x）=ax+，若a是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从2，3，4，5四个数中任取一个数，则f（x）>b恒成立的概率是________.
[牛刀小试]
精妙解法 f（x）=ax+=ax++1=a（x-1）++1+a≥2+1+a=（+1）2，
所以f（x）min=（+1）2，于是f（x）>b恒成立就转化为（+1）2>b成立.
设事件a：“f（x）>b恒成立”，则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；
事件a包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），共10个，由古典概型得p（a）==.
（★★★★）必做7 从一个正方体的8个顶点中任取3个，则以这3个点为顶点构成直角三角形的概率为
（ ）
a. b. c. d.
[牛刀小试]
精妙解法 法1：从正方体的8个顶点中任取3个有c=56种取法，可构成的三角形有56种可能，正方体有6个表面和6个对角面，它们都是矩形（包括正方形），每一个矩形中的任意3个顶点可构成4个直角三角形，共有12×4=48个直角三角形，故所求的概率p==，选d.
法2：从正方体的8个顶点中任取3个有c=56种取法，可构成的三角形有56种可能，所有可能的三角形分为直角三角形和正三角形两类，其中正三角形有8种可能（每一个顶点对应一个），故所求的概率p==，选d.
极速突击 对于某些稍复杂的事件的古典概型问题，一般要把复杂事件分解为若干个互相排斥或相互独立、既不重复又不遗漏的简单事件解决，同时通过排列、组合知识完成计算，这也是考查同学们分析问题、解决问题能力的重要环节.
几何概型
（★★★★）必做8 在长度为1的线段内任取两点，将线段分成三段，则它们可以构成三角形的概率为________.
精妙解法 设线段被分成的三段长分别为x，y，1-x-y，则0 符合条件的点表示平面区域m=（x，y）0 0 0 ，
0 极速突击 解决此题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概型问题. 关键在于将问题如何转化为二维测度面积之比.
（★★★★）必做9 设a={（a，c）
0 a. b.
c. d.
[牛刀小试]
精妙解法 方程ax2+2x+c=0有实根，所以δ=4-4ac≥0，即ac≤1，结合a，c的限制条件，作出线性规划图.
如图2，s阴影=s矩形oabe+s曲边四边形abcd=×2+da=1+2ln2，
[o][c][a][a][d][c][f][b][e][图2]
所以关于x的方程ax2+2x+c=0有实根的概率为
p==.
相互独立事件、独立重复试验及互斥事件的概率
（★★★★）必做10 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，则（1）甲以4比1获胜的概率为______；（2）乙获胜且比赛局数多于5局的概率是______.
精妙解法 由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是.
（1）记“甲以4比1获胜”为事件a，则p（a）=c
=.
（2）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件b.
因为乙以4比2获胜的概率为p1=c
=，
乙以4比3获胜的概率为p2=c
=，所以 p（b）=p1+p2=.
极速突击 用相互独立事件的乘法公式解题的步骤：
（1）用恰当字母表示题中有关事件；（2）根据题设条件，分析事件之间的关系；（3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个乘积之和（相互乘积的事件之间必须满足相互独立）；（4）利用乘法公式计算概率.
（★★★★）必做11 某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市e运至销售城市f，已知从城市e到城市f有两条公路. 统计表明：汽车走公路i堵车的概率为，不堵车的概率为；走公路ii堵车的概率为，不堵车的概率为. 若甲、乙两辆汽车走公路i，第三辆汽车丙由于其他原因走公路ii运送水果，且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响，则三辆汽车中至少有两辆堵车的概率是_______.
[牛刀小试]
精妙解法 记“汽车甲走公路ⅰ堵车”为事件a，“汽车乙走公路ⅰ堵车”为事件b，“汽车丙走公路ⅱ堵车”为事件c. 于是甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为p=p（a·b·）+p（a··c）+p（·b·c）+p（a·b·c）=××+××+××+××=.
极速突击 在解此类题时，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的含义，以免混淆. 理解事件的相互独立性并熟练运用公式是解此类问题的关键.
（★★★）必做12 某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是________.
[牛刀小试]
精妙解法 本题是独立重复实验b4
，，p（k=2）=c
2
2=.
极速突击 独立重复试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验. 在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.
（★★★★）必做13 设10件产品中有4件不合格，从中任意取2件，试求在所取得的产品中发现有一件是不合格品的条件下，另一件也是不合格品的概率是（ ）
a. 0.2 b. 0.3 c. 0.4 d. 0.5
精妙解法 记事件a为“有一件是不合格品”，事件b为“另一件也是不合格品”，
n（a）=cc+c=30，n（ab）=c=6，所以p（b|a）==0.2.
极速突击 条件概率问题是高中新课程新增知识，同时也是一个冷点，复习时一定要引起注意.
（1）在解决互斥事件与相互独立事件的概率问题时，首先要注意互斥事件与相互独立事件的区别和运用场合. 善于将复杂的事件分解为互斥事件的和与独立事件的积是解题的关键.
（2）如果一个问题包
含的正面情况比较多，反面情况比较少，则一般利用对立事件求解，即先求出欲求概率事件的对立事件的概率，再得到欲求事件的概率，一般地，“至少”“至多”等问题往往会用到这种方法求解.
离散型随机变量的分布列、期望和方差
（★★★★）必做14 如图3，已知长方形adeh是由三个边长为1的正方形拼接而成的，从a，b，c，d，e，f，g，h这八个点中任取三个点组成的图形面积记为ξ，且当三点共线时ξ=0，则数学期望eξ的值为________.
[e f g h][a b c d]
图3
[牛刀小试]
精妙解法 ξ=0，，1，，
p（ξ=0）==，p
ξ=
==，
p（ξ=1）==，p
ξ=
==，
所以eξ=0×+·+1·+·===.
极速突击 求离散型随机变量ξ的期望的步骤为：
（1）理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；
（2）计算出ξ取每一个值时的概率；
（3）写出ξ的分布列；
（4）利用公式eξ=ξ1p1+ξ2p2+…+ξnpn，求出期望.
（★★★）必做15 根据新交规的要求，某驾校将小型汽车驾照考试科目二的培训测试调整为：从10个备选测试项目中随机抽取4个，只有选中的4个项目均测试合格，科目二的培训才算通过. 已知甲对10个测试项目测试合格的概率均为0.8，则甲最后通过测试项目的期望值是________.
[牛刀小试]
精妙解法：甲的测试项目合格数为ξ，则ξ～b（4，0.8），
所以eξ=4×0.8=3.2.
极速突击 当断定随机变量服从两点分布或二项分布时，可不用列出分布列，直接用公式求出eξ与dξ.
（1）求离散型随机变量的概率分布表的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率.
（2）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
（3）注意应用概率之和为1这一性质检验解答是否正确.
正态分布
（★★★）必做16 设随机变量ξ服从正态分布n（2，22），则p（2<ξ<3）可以被表示为（ ）
a. 1-p（ξ<1）
b.
c. p（0<ξ<1）
d. +p（ξ<1）
精妙解法 由于正态分布曲线的对称轴为x=2，由对称性知p（ξ<1）=p（ξ>3），又曲线与x轴之间的面积为1，所以2p（2<ξ<3）=1-2p（ξ<1），即p（2<ξ<3）=，选b.
正态分布问题关键是抓住两个参数μ和σ，其中μ表示随机变量的均值，σ表示随机变量的标准差，同学们应明确正态曲线以下性质：
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；（3）曲线在x=μ处达到峰值；（4）曲线与x轴之间的面积为1；（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中.
