原文作者：佚名
等差、等比数列的综合，数列求和
（★★★★）必做1 在等比数列{a}中，公比q≠1，等差数列{b}满足b=a=3，b=a，b=a.
（1）求数列{a}与{b}的通项公式；
（2）记c=（-1）nbn+a，求数列{c}的前n项和s.
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破解思路 第（1）问求两个基本数列的通项，“基本数列（等差、等比数列）、基本量（（a，d）和（a，q））、基本公式（通项公式、前n项和公式）、基本思想（方程思想）”是解决这些问题的经典方法. （2）求数列前n项和，{a}是等比数列，数列{c}不是基本数列，可以先分组.观察数列（-1）nbn，发现前后两项合并可以产生常数数列，但最后项数的奇、偶不确定，所以要分类讨论；或者分奇、偶项按符号分别求和.
精妙解法 （1）设等比数列{a}的公比为q，等差数列{b}的公差为d.
由已知得：a=3q，a=3q2，b=3+3d，b=3+12d，
3q=3+3d，
3q2=3+12d ?q=1+d，
q2=1+4d?q=3或q=1（舍去），所以d=2.
所以a=3n，b=2n+1.
（2）由题意得c=（-1）nbn+a=（-1）·（2n+1）+3，
所以s=c+c+…+c=（-3+5）+（-7+9）+…+（-1）n-1（2n-1）+（-1）（2n+1）+3+32+…+3n.
当n为偶数时，得s=n+=+n-；
当n为奇数时，得s=n-1-（2n+1）+=-n-.
（★★★★）必做2 数列{a}的前n项和为s，若a=3，s和s满足等式s=s+n+1.
（1）求s的值；
（2）求证：数列
是等差数列；
（3）若数列{b}满足b=a·2，求数列{b}的前n项和t；
（4）设c=，求证：c+c+···+c>.
破解思路 第（1）问一般难度不大，主要是引导进一步理解题意，同时为后面的求解做一些准备.这里问题中{s}是由s构成的数列，s是数列的项，破除s总是通常意义上的前n项和的定式. 第（2）问是近两年高考数列问题的常见模式，直接给出“脚手架”，只要根据条件，代入证明，不用考虑构造等技巧，通过代数式变形即可. 第（3）问的题型模式非常明显，一般就是“错位相减”的特征，这种方法主要用于求{a·b}型数列的前n项和，其中{a}，{b}分别是等差数列和等比数列.前面完成以后，最后一问就水到渠成了.
精妙解法 （1）由已知：s=2s+2=2a+2=8.
（2）因为s=s+n+1，两边同除以n+1，则有-=1. 又=3，所以
是以3为首项，1为公差的等差数列.
（3）由（2）可知，=3+（n-1）=n+2，所以s=n2+2n（n∈n?）.
当n=1时，a=3；当n≥2时，a=s-s=2n+1.
检验：当n=1时，亦满足上式，所以a=2n+1（n∈n?）.
所以b=a·2，所以b=（2n+1）22n+1，t=b+b+…+b+b.
所以t=3·23+5·25+…+（2n-1）·22n-1+（2n+1）·22n+1 ①，
22t=3·25+5·27+…+（2n-1）·22n+1+（2n+1）·22n+3 ②，
由①-②得：
-3tn=3·23+2（25+…+22n-1+22n+1）-（2n+1）·22n+3=3·23+2·-（2n+1）·22n+3=+，
所以t=
n+·22n+3-.
（4）由（3）知c==+-·
n，
所以c+c+…+c=·+·n-·
=-+
n>-≥-=.
极速突击 解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件.
等差与等比数列是两类重要的数列模型，它们的综合运用仍然是高考的最大热点所在，高考命题专家既要依据两类数列模型的基本知识和性质命题，又要站在两类数列模型所提炼出的数学思想方法上进行拓展，做到“源于等差、等比数列，多角度考查非等差、等比数列”. 在数列求和问题中，除了公式法是常用的方法外，高考还会重点考查“折项分组法”“错位相减法”“倒序相加法”“裂项相消法”.
（1）公式法
如果一个数列是等差数列或等比数列，就可采用对应的公式，当等比数列的公比是字母时，要注意分类讨论.
（2）拆项分组法
有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，则先分别求和，然后合并. 要熟记公式12+22+…+n2=n·（n+1）（2n+1）.
（3）错位相减法
这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{anbn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列.
（4）倒序相加法
这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列（反序），当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和.
（5）裂项相消法
利用通项变形，将通项分裂成两项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和.
数列与不等式
（★★★★）必做3 已知各项均为正数的数列{a}满足a=2a+anan+1，且a+a=2a+4，其中n∈n?.
（1）求数列{a}的通项公式；
（2）设数列{b}满足b=，是否存在正整数m，n（1 （3）令c=，记数列{c}的前n项和为s，其中n∈n?，证明：≤s<.
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破解思路 （1）用方程思想找出a，a更明确的关系. （2）因b，b，b成等比数列，则必有b=bb，再根据自然数的性质进行推理，此问对思维能力要求较高. （3）数列问题中的不等式证明的核心仍在数列知识，主要是通过数列求和然后适度放缩达到证明的要求.
精妙解法 （1）因为a=2a+anan+1，即（a+a）（2a-a）=0.
又a>0，所以有2a-a=0，即2a=a.
所以数列{a}是公比为2的等比数列.
由a+a=2a+4得2a+8a=8a+4，解得a=2 .
从而，数列{a}的通项公式为a=2n（n∈n?）.
（2）b==，若b，b，b成等比数列，则
2=·，
即=，可得=.
所以-2m2+4m+1>0，解不等式得1- 又m∈n?，且m>1，所以m=2，此时n=12 .
故当且仅当m=2，n=12时，可使得b，b，b成等比数列.
（3）由已知可得c==·
=·
+
=·
+
+
，
所以s=·
+…+
+·
-
+
-
+ …+
-
=·
+·
-
=·1-
·.
又由于
n+1·=
n+1·
1+递减，所以0<
n+1·≤
1+1·=.
所以≤·1-
·<，即≤s<.
极速突击 通常情况下，放缩法常常被用于解决数列求和型不等式问题.其求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和.对于第一种途径，需要该数列的前n项和能直接求出，或者通过变形后求出.求和过程中，一般需用到等差、等比求和公式或者使用分组、裂项、错位相减、倒序相加等方法.然而有的情况，数列是不能直接求和的，因此必须选择第二条途径，即先对数列进行放缩处理，再做求和运算.
（★★★★）必做4 设正项数列{a}的前项和是s，若{a}和{}都是等差数列，且公差相等.
（1）求{a}的通项公式；
（2）若a，a，a恰为等比数列{b}的前三项，记数列c=，数列{c}的前n项和为t，求证：对任意n∈n?，都有t<2.
破解思路 （1）根据基本数列、通项公式可解；（2）由（1）的结果可得c=，数列{c}不是基本数列，一些基本方法也不能使用.数列问题中不等式的证明一般有三种情形：先求和再适当放缩；先放缩再求和；利用函数方法等.在不能直接求和时，可考虑先放缩，<==-，然后通过裂项抵消求和达到证明目的.
精妙解法 设{a}的公差为d，则==n，且a-=0.
又d=，d≠0（若d=0，则a==0），所以d=，a==，a=.
（2）由已知b=a=，b=a=，所以b=×3n-1.
因为c=，可得c=.
故当n≥2时，可得<==-，
所以当n≥2时，t=++…+<+
-+
-+…+
-=2-<2.
又因为t=<2，所以对任意n∈n?，tn<2.
（★★★★）必做5 已知函数f（x）=ax--2lnx， f（1）=0， f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，数列{a}满足a= f′
-n2+1，a=4.
（1）证明：对一切整数n都有a≥2n+2；
（2）试比较+++…+与的大小，并说明你的理由.
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破解思路 （1）利用导数的几何意义列方程组求出a，b，得出函数f（x）的表达式；由已知条件写出数列{a}的递推关系式；用数学归纳法证明（1）问中的不等式. （2）利用（1）问的结论，对递推公式通过放缩进行化归分析，将a+1的倒数转化为可求和的等比数列，利用放缩所求得的和推导出大小.
精妙解法 （1）因为f（1）=a-b=0?a=b，所以f（x）=ax--2lnx，
所以f′（x）=a+-.
由题意知f′（1）=0，可得a+a-2=0，解得a=1.
所以f′（x）=
-12，于是a=f′
-n2+1=a-2na+1.
下面用数学归纳法证明对一切整数n都有a≥2n+2成立.
①当n=1时，a=4≥2×1+2，不等式成立；
②假设当n=k时，不等式a≥2k+2成立，即a-2k≥2成立.
则当n=k+1时，a=a（a-2k）+1≥（2k+2）×2+1=4k+5>2（k+1）+2.
所以当n=k+1时，不等式也成立.
由①②知?n∈n?时都有a≥2n+2成立.
（2）由（1）得a=a（a-2n+2）+1≥a[2（n-1）+2-2n+2]+1=2a+1（?n∈n?，n≥2），
于是a+1≥2（a+1）对?n∈n?，n≥2成立，
所以a+1≥2（a+1），a+1≥2（a+1），…，a+1≥2（a+1）成立.
累乘可得：a+1≥2n-1（a+1），则有≤·成立（?n∈n?，n≥2）.
所以+++…+≤
1++
+…+
=1-
<.
放缩的方法有如下两种：
①拆分放缩，纠正偏差. 放缩量的多少直接影响我们能否达到预证目标，那么怎么控制放缩量呢？我们可按照一定的规律和需求，调整“间距”，使放缩的量精细化，即将放大过头的量砍去，缩小过多的量补上.如同做菜一样，把握好火候很重要.不同的菜对火的大小要求不一，炒菜需要大火爆炒，炖汤则需要小火慢炖.
②限项放缩，纠正偏差. 若每一项都放大或缩小一点点，累积起来就会扩大或缩小很多，这将导致放缩结果出现偏差.若适度减少放缩的项，保留更多的项不被放缩，则可以纠正偏差，逐步逼近预证目标.
数列与解析几何
（★★★★）必做6 已知函数f（x）=xk+b（其中k，b∈r且k，b为常数）的图象经过点a（4，2），b（16，4）. p，p，p，…，p，…是函数f（x）图象上的点，q，q，q，…，q，…是x正半轴上的点.
（1）求f（x）的解析式；
（2）设o为坐标原点，△oqp，△qqp，…，△qqp，…是一系列正三角形 ，记它们的边长是a，a，a，…，a，…，求数列{a}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，数列{b}满足b=，记{b}的前n项和为s，证明：s<.
[牛刀小试] 破解思路 综合性问题必须化整为零、分而治之. （1）利用待定系数法直接求解. （2）数列与解析几何的综合问题，往往是数列递推，需要数形结合剥除几何的外衣，回归数列的本质. 可以先求出a，a，a，找出数列规律，重要的是在特殊项的求解过程中理解一般项关系的推导方法，从而确定递推关系. （3）由通项形式大致可以确定解题方向是“错位相减”，求和后放缩证明.
精妙解法 （1）2=4k+b，
4=16k+b?b=0，k=?f（x）=.
（2）由
y=，
y=x?x=?a=.
由
y=，
y=（
x-s） ?x--s=0，于是可解得x=.
将x代入a=2（x-
s）=+，由此原问题转化为
“已知
a
-2=且a=，求a”.
又
a
-2=，两式相减可得：
a
-2-
a
-2=a，整理得：（a+a）
a
-a
-=0.
又因为a>0，所以a-a=，从而数列{a}是以为首项、为公差的等差数列，即a=.
（3）b==·=·，3s=+++…+，
所以s=+++…+，
两式相减得：s=1++++
…+-=-=2-，
整理得s=-<.
极速突击 数列与解析几何的综合，往往从探究数列递推关系开始，探究历程往往是“探寻递推公式→演变成通项公式→①数列前n项和的研究；②通项公式的延续拓展”，所以找到突破口的关键是要探究点与点的关系，挖掘数列的递推关系.
