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直线方程与两条直线的位置关系

原文作者:栗高军

  直线方程与两条直线的位置关系是高考考查的主要内容. 考查直线方程的特征值(例如斜率、截距)、直线的平行与垂直的条件,以及与距离有关的问题. 在选择题和填空题方面,大都属于中、低档题,考查直线的基本概念和几何要素;而在解答题方面,直线往往与圆、圆锥曲线综合考查,具有一定的灵活性. 同时,我们要了解直线的斜截式方程与一次函数的关系,对有关函数、不等式等代数问题能够借助直线方程进行解决,提高解题的综合运用能力,比较典型的是线性规划问题.
   (1)对于直线方程,重点是掌握其五种表达形式,难点是在具体的数学问题情境中正确选择直线的方程形式.
  (2)对于两条直线的位置关系,重点是掌握平行和垂直关系,难点是点线对称问题. 若l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则①l1∥l2?圳k1=k2,b1≠b2;②l1⊥l2?圳k1k2=-1. 若l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0,则①l1∥l2?圳a1b2-a2b1=0,a1c2-a2c1≠0;②l1⊥l2?圳a1a2+b1b2=0.
   (1)分类讨论思想:由于有的直线不存在斜率,所以在解答直线方程问题时,我们往往要分类讨论直线斜率是否存在,避免漏解.
  (2)数形结合思想:“数缺形时难直观”,数形结合思想就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,将抽象思维与形象思维相结合,使数学问题化抽象为具体. 将二元一次方程(即直线的方程)用直线表示,可以形象直观地看到直线的几何特性,从而为解题指出正确的方向,尤其对于最值问题和对称问题.
   (3)设直线方程的一些常用技巧:
  ①若直线在y轴上的截距为b,则设其为y=kx+b.
  ②若直线在x轴上的截距为a,则设其为x=my+a其中m=■.
  ③若直线存在斜率k,则设其为y=kx+b.
  ④若直线过点p(x0,y0),则设其为y-y0=k(x-x0).
  ⑤若与直线ax+by+c=0平行,则设其为ax+by+c′=0(c≠c′).
  ⑥若与直线ax+by+c=0垂直,则设其为bx-ay+c′=0.
  ⑦若与直线y=kx+b平行,则设其为y=kx+b′(b≠b′).
  ⑧若与直线y=kx+b(k≠0)垂直,则设其为y=-■x+b′.
  (4)转化思想:将直线几何问题代数化,用代数的语言描述直线的几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题;将代数问题几何化,用直线的几何特性理解二元一次方程,将代数问题转化为几何问题.
   直线l1过点p(-1,2),且与直线l2:2x-3y+4=0垂直,则直线l1的方程是( )
  a. 3x+2y-1=0 b. 3x+2y+7=0
  c. 2x-3y+5=0 d. 2x-3y+8=0
  思索 ①与直线ax+by+c=0垂直的直线的方程可设为bx-ay+c′=0;②若直线l1和直线l2存在斜率k1,k2,则l1⊥l2?圳k1·k2=-1.
  破解 (法一)因为l1⊥l2,所以设直线l1的方程为-3x-2y+c=0(c为待定的系数). 因为直线l1过点p(-1,2),所以-3×(-1)-2×2+c=0,即c=1. 所以直线l1的方程为-3x-2y+1=0,即3x+2y-1=0,选项a正确.
   (法二)直线l2:2x-3y+4=0的斜率k2=■,因为l1⊥l2,所以k1·k2=-1,故k1=-■. 因为直线l1过点p(-1,2),所以直线l1的方程为y-2=-■(x+1),即3x+2y-1=0,选项a正确.
   (2012浙江)设a∈r,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的( ) [论文网]
  a. 充分不必要条件
  b. 必要不充分条件?摇?摇?摇?摇?摇
  c. 充分必要条件
  d. 既不充分也不必要条件
  思索 对于直线l1:a1x+b1y+c1=0和直线l2:a2x+b2y+c2=0,有l1∥l2?圳a1b2-a2b1=0,a1c2-a2c1≠0.
  破解 ①当a=1时,因为a(a+1)-2×1=0,且4a-(-1)×1=5≠0,所以l1∥l2. 所以“a=1”是“l1∥l2”的充分条件.
  ②当l1∥l2时,则a(a+1)-2×1=0,4a-(-1)×1≠0, 即a=1,或a=-2. 所以“a=1”是“l1∥l2”的不必要条件.
  综合①和②,正确答案是a.
  ■?摇 (2012天津)已知函数y=■的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是________.
  思索 对于该题,命题者表面呈现给我们的是考查函数与方程,实质上是考查直线方程和数形结合的思想. 第一步,作出函数■的图象;第二步,认识到函数y=kx-2的图象就是直线,该直线的几何特性就是斜率为k,在y轴上的截距为-2;第三步,分析k值发生变化时两个函数图象的交点个数,确定有两个交点时k的取值范围.
   破解 由已知可得函数■=■,从而化简得函数y=x+1, x<-1或x>1,-x-1. -1  因为函数y=kx-2的图象是一条在y轴上的截距为-2(即过点p(0,-2))的直线l,要使直线l与函数y=■的图象有两个不同的交点,则直线l既与线段cd(不含端点)相交,又与射线ba相交,所以0  高考考纲明确指出:“理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式;掌握确定直线位置关系的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式);能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.” 所以,备考直线的方程与两条直线的位置关系,一方面要重视抓基础,强化基本概念的理解(如倾斜角、斜率、截距),掌握直线方程的多种表述形式,理解直线平行或垂直与两直线斜率的关系,为后继圆和圆锥曲线的备考做实基础;另一方面,强化思想方法训练(如坐标法、分类讨论思想、数形结合思想、转化法等),培养综合能力.

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  •  作者:佚名 [标签: 位置 直线 位置 直线 位置 回归 直线 ]
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