原文作者：路平

　本部分内容由直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系组成.　直线与圆主要考查位置关系的判断，利用位置关系解决切线方程、公共弦方程及弦长等有关直线与圆的问题；圆与圆主要考查位置关系的判断及简单应用.
 　　重点：掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定方法，寻求圆的弦长、切线长、圆的切线方程等问题的最优解法.
　　难点：圆的弦长问题，求与圆有关的轨迹问题等.
　　1.　判断直线与圆的位置关系的两种常见方法
　　（1）几何法：①确定圆的圆心坐标和半径r；②计算圆心到直线的距离d；③判断d与圆半径r的大小关系：d>r？圯相离，d=r？圯相切，d　　（2）代数法：①把直线方程代入圆的方程；②得到一元二次方程；③求出δ的值：δ>0？圯相交；δ=0？圯相切；δ<0？圯相离.
 　　2.　计算直线被圆所截得的弦长的常用方法
　　（1）几何法：运用由半径、弦心距和半弦长所组成的直角三角形求解（有关位置判断、弦长、弦心距等问题优先利用几何方法）.
　　（2）代数法：运用韦达定理及弦长公式.
　　3.　解决圆与圆的位置关系问题的基本思路
　　（1）用圆心之间的距离d与两半径r1，r2的和或差进行大小比较：d>r1+r2？圯相离；d=r1+r2？圯相外切；r1－r2　　（2）圆c1：x2+y2+d1x+e1y+f1=0，圆c2：x2+y2+d2x+e2y+f2=0相交所得的公共弦方程为（d1－d2）x+（e1－e2）y+（f1－f2）=0.
 　　（2012重庆）对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是（ ）
　　a．　相离
　　b．　相切
　　c．　相交但直线不过圆心
　　d．　相交且直线过圆心
　　思索 处理判断直线与圆的位置关系问题，可以用代数法联立方程组，也可以用几何法比较点到直线的距离与半径的大小，我们应根据题目选择合适的方法.　当然，特殊的题目还有更为快捷的方法.
 　　破解 （法一）圆心c（0，0）到直线kx－y+1=0的距离为d=■<■<■=r，且圆心c（0，0）不在该直线上.　故选c.
　　（法二）直线kx－y+1=0恒过定点（0，1），而该点在圆c内，且圆心不在该直线上，故选c.
　　过点（3，3）作圆x2－2x+y2－3=0的切线，切线方程为______.
　　思索 求过圆外一点（x0，y0）的圆的切线方程：①几何方法.设切线方程为y－y■=k（x－x0），由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出.　②代数方法.　设切线方程为y－y0=k（x－x0），与圆的方程联立，得到一个关于x的一元二次方程，由δ=0求得k，切线方程即可求出.　两种方法都需注意，若只求出了一条切线方程，则还有一条斜率不存在的切线.
 　　破解 设切线的斜率为k，则切线方程为y－3=k（x－3），即y－kx+3k－3=0，圆心到直线的距离d=■=2，得到k=■，所以切线方程为5x－12y+21=0.　当k不存在时，x=3亦为切线方程.所以切线方程为5x－12y+21=0和x=3.
 　　（2012天津）设m，n∈r，若直线l：mx+ny－1=0与x轴相交于点a，与y轴相交于点b，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，o为坐标原点，则△aob面积的最小值为______.
 　　思索 本题的突破口仍然是直线与圆相交，利用几何方法中的特殊三角形得到m，n的关系式，则a，b两点的坐标可以求出，而△aob为直角三角形，面积可以用m，n表示，进而求解.　注意基本不等式的应用.
 　　（2010山东）已知圆c过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x－1被该圆截得的弦长为2■，求圆c的标准方程.
　　思索 利用几何方法，由半径、弦心距和半弦长所组成的直角三角形求解.
　　破解 设圆心为（a，0），则圆心到直线x－y－1=0的距离为d=■.因为圆截直线所得的弦长为2■，根据半弦、半径、弦心距之间的关系有■■+2=（a－1）2，即（a－1）2=4，所以a=3或a=－1（舍去），则半径r=3－1=2，圆心为（3，0）.　所以圆c的标准方程为（x－3）2+y2=4.
 　　（1）已知直线l：y=x+b与曲线c：y=■有两个不同的公共点，求实数b的取值范围； [论文网]
　　（2）若关于x的不等式■＞x+b的解集为r，求实数b的取值范围.
　　思索 应用数形结合方法，画出草图.注意曲线为半个圆.
　　破解 （1）如图1（数形结合），方程y=x+b表示斜率为1，在y轴上的截距为b的直线l；方程y=■表示单位圆在x轴上及其上方的半圆.　当直线过b点时，与半圆交于两点，此时b=1，直线即为l1；当直线与半圆相切时，b=■，直线即为l2.　直线l要与半圆有两个不同的公共点，必须满足l在l1与l2之间（包括l1但不包括l2），所以1≤b<■，即所求b的取值范围是［1，■）.
 　　（2）不等式■＞x+b恒成立，即半圆y=■在直线y=x+b上方，当直线l过点（1，0）时，b=－1，所以所求b的取值范围是（－∞，－1）.
　　已知在平面直角坐标系xoy中，圆c的方程为x2+y■－8x+15=0，如果直线y=kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆c有公共点，那么k的最大值是_______.
 　　思索 本题考查圆与圆的位置关系.　圆与圆有公共点，所以位置关系为相切或相交.　设出动圆的圆心坐标，求出两圆圆心距离的范围，转化为点到线的距离.
　　破解 因为圆c的方程可化为（x－4）2+y2=1，所以圆c的圆心为（4，0），半径为1.　由题意，直线y=kx－2上至少存在一点a（x0，kx0－2），以该点为圆心，　1为半径的圆与圆c有公共点，所以存在x0∈r，使得ac≤1+1成立，即acmin≤2.　又因为acmin即为点c到直线y=kx－2的距离■，所以■≤2，解得0≤k≤■.　所以k的最大值是■.
 　　已知圆o的方程为x2+y2=4，定点a（4，0），求过点a且和圆o相切的动圆圆心的轨迹方程.
　　思索 利用两圆相切时圆心距与两半径和或差的关系，列出关系式.注意两种相切的形式.
　　破解 设动圆的圆心为p（x，y），因为动圆过定点a，所以pa即为动圆半径.　当动圆p与圆o外切时，po=pa+2；当动圆p与⊙o内切时，po=pa－2.　结合这两种情况，可得po？摇－pa？摇=2.　将此关系式坐标化，得■－（x－4）2+y2■=2，化简可得（x-2）2－■=1.