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椭圆及其性质

原文作者:柳勋

 重点:(1)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及其简单几何性质.
  (2)了解椭圆的简单应用;理解数形结合的思想.
  (3)掌握直线与椭圆有关的各种题型的解决方法.
  难点:(1)理解并掌握椭圆的基本概念、标准方程及其简单的基本性质.
  (2)能解决直线与椭圆的有关综合问题.
  (1)求椭圆的标准方程主要有定义法和待定系数法,对于用待定系数法求椭圆的标准方程,应学会从“定形、定位、定量”三方面来分析求解椭圆方程.
  (2)焦点三角形问题,通常从以下几个方面入手:①定义;②正、余弦定理;③三角形面积公式.
  (3)椭圆离心率问题,一般不直接求出a,c的值,而是根据题目给出的椭圆的几何特征,建立关于参数a,b,c的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或范围.
   (4)在椭圆中的一些求取值范围及最值的问题中,常将所求量表达为其他量的函数,然后用函数的方法解决. 另外要注意考虑椭圆标准方程中x,y自身的取值范围.
  (5)在直线与椭圆的问题中,常用韦达定理,“设而不求”,巧用公式,通过这些过渡变量使问题得以解决;而在解决弦中点及直线斜率的相关问题中,“点差法”的用处更不容小觑.
   (椭圆定义的运用)一动圆与已知圆o1:(x+3)2+y2=1外切,与圆o2:(x-3)2+y2=81内切,求动圆圆心的轨迹方程.
  思索 两圆相切时,圆心之间的距离与两圆半径有关,据此可得出动圆圆心满足的条件,进而利用椭圆的定义求出轨迹方程.
  破解 设动圆的圆心为m,动圆的半径为r,由已知可得mo1=1+r,mo2=9-r,mo1+mo2=10>o1o2=6. 由椭圆的定义可知,点m的轨迹是在以o1,o2为焦点的椭圆上,其中a=5,c=3,b2=a2-c2=16,则所求的轨迹方程为■+■=1.
   点评 利用圆与圆内切或外切时半径之间的关系,转化为用椭圆的定义来处理,这是解决此类问题的一种通法,类似也可得到如下变式.
  ①变式问题一:一动圆与已知圆o1:(x+3)2+y2=1及圆o2:(x-3)2+y2=81均内切,求动圆圆心的轨迹方程.
  ②变式问题二:一动圆与已知圆o1:(x+3)2+y2=1外切,与圆o2:(x-3)2+y2=4内切,求动圆圆心的轨迹方程.
  ③变式问题三:一动圆与已知圆o1:(x+3)2+y2=1内切,与圆o2:(x-3)2+y2=4外切,求动圆圆心的轨迹方程.
  ④变式问题四:一动圆与已知圆o1:(x+3)2+y2=1及圆o2:(x-3)2+y2=4均相切,求动圆圆心的轨迹方程.
  (突破焦点三角形问题)已知f1,f2是椭圆的两个焦点,p为椭圆上一点,∠f1pf2=60°,求椭圆离心率的范围.
  思索 研究椭圆离心率问题,关键是利用题目给出的椭圆的几何特征,建立关于参数a,b,c的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或范围. 另外,与焦点三角形有关的计算常利用圆锥曲线定义、正余弦定理、均值不等式,等等.
   点评 此解法将所求离心率e表达为点p的横坐标x0的函数,但切记不能忽略x0的取值范围. 考虑到焦点三角形也属于解三角形问题,知道边角关系考虑正弦定理及和分比定理亦可求解,同学们不妨一试.
   ①变式问题一:已知f1,f2是椭圆的两个焦点,p为椭圆上一点, ∠f1pf2=90°,求椭圆离心率的范围.
  ②变式问题二:已知f1,f2是椭圆的两个焦点,p为椭圆上一点,若∠f1pf2为锐角,求椭圆离心率的范围. [论文网]
  ③变式问题三:已知f1,f2是椭圆的两个焦点,p为椭圆上一点,若∠f1pf2为钝角,求椭圆离心率的范围.
  点评 与弦中点有关的问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在的直线斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化. 同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量之间的关系进行灵活转化,往往能事半功倍.
   1. 夯实基础、落实基本技能
  在复习时,首要的任务是准确地理解概念,牢记重要公式,熟练掌握基本方法,洞晓考试内容所涉及的各个知识点. 因此一定要精通课本.另外要有一个清晰的知识框架,积累常用模型(如求椭圆离心率和离心率的取值范围,焦点三角形的相关问题),熟练通用方法,落实基本技能.
   2. 注重对数学思想方法的提炼
  新课标高考讲究能力立意,对数学思想方法的考查贯穿始终,在复习时要注重强化数学思想方法,特别是函数方程、等价转化、分类讨论、数形结合等思想在题目中的渗透.
  3. 注重加强运算能力的训练
  椭圆的综合问题往往思路明确,但对数学运算能力的要求较高,不易算出结果.在备考过程中,要注意运算能力的训练,同时加强对算法、算理的训练及总结.
  4. 特别注意解题后的总结与反思
  有许多同学反映平时已做了大量的试题,但总觉得效果不明显,水平提高很有限,在考试中对付这类试题总还是心里没底. 不注意解题后的总结与反思是其中的主要原因,所以在平时训练中,要特别注意解题后的总结和反思,做到举一反三,触类旁通,提高复习的效率.

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  •  作者:佚名 [标签: 椭圆 椭圆 椭圆 椭圆 椭圆 椭圆 切线 ]
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