原文作者：吴涛

　　最值问题是高中数学中永恒的话题，圆锥曲线中的最值问题一直是高考和竞赛中的热点问题之一. 由于解决这个问题对考生的能力要求较高，许多同学对这个问题感到比较棘手. 本文以一道高考题为例，说明解决这类问题的常用对策，供大家参考.
 　　题目 （由2008年全国高考题改编）过原点且斜率为正值的直线交椭圆■+y2=1于e，f两点，设a（2，0），b（0，1）． 求四边形aebf的面积s的最大值．
 　　函数思想是解决最值问题最强有力的武器，也是解决解析几何最值问题最常用的方法，我们通常可用建立目标函数的方法解有关解析几何的最值问题，其解题程序可总结为：变量→函数→最值． 即，第一步：选择适当的量为变量，并求出变量的取值范围（目标函数的定义域）． 第二步：把所需求最值的量用上述变量表示出来（求出目标函数的解析式）． 第三步：求出上述目标函数的最值即可得所需结论．
 　　解法一 以直线的斜率为目标函数的变量
　　分析 当直线ef的斜率确定时，直线ef也确定了，四边形aebf也确定，即其面积显然随直线ef的斜率变化而变化，且题设中也有所暗示，故选取以直线ef的斜率为目标函数的变量是很自然的选择.
 　　解答 直线ab的方程为x+2y=2，设直线ef的斜率为k，则直线ef的方程为y=kx（k>0）．
　　如图1，设e（x1，kx1），f（x2，kx2），其中x1　　评注 这种解法思路自然，在应试中也是一种不错的选择；纵观上述解题过程，在操作时对运算的要求较高，在平淡中见真功夫.
 　　解法二 以直线的倾斜角为目标函数的变量
　　分析 同解法一，易见四边形aebf的面积随直线ef的倾斜角α变化而变化，因此也可选择直线ef的倾斜角α为目标函数的变量.
　　评注 由于线段ef的长不难用其倾斜角表示，而a，b为定点，要求四边形的面积，只需求出两条对角线夹角的正弦值即可. 其不足之处是这种解法在求目标函数的解析式时运算量显得比较大.
 　　解法三 以点的坐标为目标函数的变量
　　分析 由于点e和f关于原点对称，而a，b为定点，故四边形aebf的面积s随点f的坐标变化而变化，因此也可选择以点f的坐标为目标函数的变量. 注意到得到的目标函数最好是一元函数，故可借用椭圆的参数方程表示点的坐标.[论文网]
 　　评注 本解法在求四边形面积时沿用了解法一的思路，由于点e，f的坐标与四边形的面积关系显得更加直接，故其运算也显得简单. 事实上，这种解法还可以进一步简化，在求四边形aebf的面积时，也可把它分解为△efa和△efb的面积分别计算，且在计算中注意利用oa，ob的长为定值这个条件，则可使其解法更加简捷，详见如下：
 　　不妨设点f在第一象限，由于f是椭圆■+y2=1上的点，所以可设f（2cosθ，sinθ）（0<θ<90°）. 由于bo=1，ao=2．所以s△bef=■·obxe-xf=■·2xf=xf=2cosθ，同理s△aef=2yf=2sinθ. 所以s=2（sinθ+cosθ）=2■sin（θ+45°）≤2■，所以s的最大值为2■．
 　　该简化后的解法之所以比前面的解法要漂亮许多，主要表现在以下两个方面，其一是目标函数的变量选择是合理的；其二是操作过程中对面积公式的选择也比较合理.
　　解法四 化归为求二元函数的最值
　　分析 对于求一元函数的最值，我们比较容易驾驭，所以前面的解法所建立的目标函数均是一元函数，其实有时化为多元函数的最值问题求解，可使运算过程简化到极致.
　　评注 把二元函数化归为一元函数有时要通过比较繁琐的过程，本解法与前几种解法相比较，其不同之处是直接用柯西不等式求二元函数的最值，从而使解答过程更加简捷.
　　由于平面解析几何本身是数形结合的产物，借助图形的几何性质，也是破解圆锥曲线问题的重要对策，往往能收到事半功倍的效果．
　　解法五 利用几何意义法求解
　　分析 由图形的对称性可知，当且仅当椭圆弧ab上的点f到直线ab的距离最大时，四边形aebf的面积取最大值，不难发现此时的点f恰是椭圆平行于ab的切线与椭圆的公共点.
 　　解答 设直线l1，l2是与直线ab平行的椭圆的两条切线，则当e，f分别与两切点重合时，四边形aebf的面积s取最大值. 设切线的方程为x+2y=t，代入椭圆方程可得2x2－2tx+t2－4=0，令δ=4t2－8（t2-4）=0，得t=±2■，即两切线的方程为x+2y±2■=0，它们的距离为d=■，而ab=■，所以smax=■■·■=2■.
 　　虽然圆锥曲线中最值问题的题型可以千变万化，但以上两大对策方法仍然是其常用的解题对策；在化归为目标函数的最值时，要特别注意目标函数的自变量的选择，并关注目标函数的定义域. 在求目标函数的解析式时，注意选择合理的运算方法，缩短解题的长度. 若能运用其几何意义求其最值，则其运算过程往往比较简结，而且一般出现错误的概率也相对较小，因此在解决这类问题时也要重视数形结合思想的应用.