原文作者：蔡利明，赵旭昌，周友全
［摘 要］ 本文详细阐述了一堂生动的数学教学课：从一道动手操作题出发，探讨了圆绕着直线、三角形、四边形、圆等滚动一圈，滚圆自身转动的圈数，并给予了点评.
［关键词］ 习题拓展；教学实录；教学评析；探究意识；探究能力
北师大数学九年级下册第三章《圆》第6节《圆与圆的位置关系》问题解决第3题是一道动手操作题. 问题如下：如图1，取两枚大小相同的硬币，将其中一枚固定在桌上，另一枚沿着固定硬币的边缘滚动一周，那么滚动的硬币自身转了多少圈？
■
完成该问题的教学前，四川宣汉县华景中学蔡利明老师在部分教师中做了调查：在未动手操作前的直观猜测中，均认为自身转了一圈，实际操作后对滚动的硬币自身转了两圈感到不理解，更不知如何分析该问题. 为此，蔡利明老师制作了课件，设计从简单到复杂的相关问题，用60分钟的时间对《圆的滚动》做了专题研究，让学生对该问题有了较为清晰的了解和认识，取得较好的教学效果. 本次教学过程实录如下.
■ 学生猜想
师：同学们，《圆与圆的位置关系》这节教材后面有一道练习题，是一个动手操作题. 对这道题进行深入研究可以培养同学们分析问题、解决问题的能力. 本节课我们以这个问题为契机做《圆的滚动》专题研究. 请翻到课本137页，阅读问题解决中的第3题.
（学生仔细阅读问题）［稍后］
师：凭你的直观感觉，给问题一个答案，你认为滚圆本身自转了多少圈？
（学生陈万举手，教师示意回答）
生陈万：2圈.
师：（板书：2圈）陈万同学认为转了两圈. 好，还有没有其他答案？
（学生有人小声嘀咕：错了）
师：有的同学说错了. 既然错了，那你认为是多少圈？
（学生罗小平举手）
师：罗小平同学，你说.
生罗小平：1圈.
师：（板书：1圈）罗小平同学认为转了1圈，还有其他答案吗？
（学生无语）
师：认为是1圈的请举手，看一下赞成量有多大. （学生有很多人举手）大概有80%的同学认为转了1圈. 好，手放下. 认为是2圈的同学请举手. （只有几人举手）你们有点势单力薄. 好，请放下.
师：那么，你能否给你的判断说个理由呢？请大胆地说出你的想法.
师：1圈的同学请举手. （前述部分学生举手，教师示意其中一位同学）好，这位同学，说说你的想法.
生1：这两个圆的周长相等，滚圆绕固定圆的周长转一圈，所以自转了1圈.
师：（示意学生坐下，有意强化学生这一认识）想来也是这样. 两个圆在这一点接触（指出接触点），滚一圈后还是这两个点接触，所以滚一圈. 很好，这位同学勇敢地说出了他的想法. 那么，认为转2圈的同学，能不能说出你的理由？你们人数少些，势单力薄，理由必须要强大才行啰. （教师示意陈万回答）
生陈万：（未表述清楚）
师：（示意学生坐下）估计是没有想清楚，请坐下. 那么，究竟是转1圈还是转2圈，我们可以通过实验来研究. 课前我让同学们准备了2个大小一样的瓶盖来代替硬币做实验. （学生躁动，准备动手）同学们先不要忙，实验之前我们先要明白滚动的要求和圆自转1圈的意义. （屏显圆滚动，如图2）滚动的要求就是这样：滚动中不能有滑动，什么意思呢？我这儿再给同学们演示一下.
师：（教师用准备的大纸版圆演示说明滚动的要求，如图2）（滚动时）：这就是——（拖长音）
生齐：滚动. [论文网]
师：很好，这就是滚动. （又进行滑动）这就是滑动. 滚动当中不能有滑动. 那么滚动1圈又是什么意思呢？（重新屏显图2，未滚动）同学们看箭头方向朝下，这个圆与直线有什么位置关系？
生齐：垂直.
师：（笑）圆与直线会垂直吗？
生齐：（也笑）相切.
师：对，圆与直线相切. （动画显示圆滚动）圆由箭头方向朝下与直线相切滚动到再次箭头方向朝下与直线相切，为圆本身自转1圈. 明白了滚动的要求和圆自身转动1圈的意义，下面我们就可以动手实验探索.
■ 动手试验
（学生动手实验，教师巡视中发现，学生未做好接触点的标记，教师提示学生）
师：同学们先不要动手，不要盲目实验，我们先来分析一下实验的做法. 转动之前先要做好标记，想一想，先要做好哪些标记呢？
生齐：接触点.
师：对，只有标记了接触点，才知道什么时候滚了1圈. 还要标记什么呢？
生齐：箭头的方向.
师：不是箭头的方向，而是滚圆哪一点朝上. 只有这样，你才知道滚圆自身转了多少圈.
下面同学们就可以动手实验. 注意，同排两位同学要配合.
？摇（学生动手实验，教师巡视，不时根据情况提示学生：可以一个同学固定圆，一个同学转动. 注意换手的时候不要滑动. 教师询问部分小组情况，发现大多数小组完成实验后，继续）
师：同学们停下了，很多小组成功地完成了实验，老师这儿的成功是说他们得出了结果. 下面我们交流一下实验的结果. 这位同学（示意），说一说，你们组的实验结果.
生2：（看另一位同学一眼，笑说）1圈. （有同学喊1圈）
师：还有没有也是1圈的？注意啊，要成功地做出实验的. （很多学生举手，教师示意不同的同学）这位同学，你说.
生3：1圈.
师：你们这一组？
生4：1圈.
师：你们这一组也是1圈？
生5：1圈. （无回答2圈的）
师：你们这是成功地做出了实验吗？
生齐：是！
师：注意，你们这是伪成功，伪，假的意思.？摇（停顿）那么是多少圈呢？同学们看教师的实验.
（教师课件展示硬币转动，图3）
■
师：为了便于观察，教师圆中画了3条直径. 同学们观察在不同空白位置时，滚圆与硬币的接触点，看看滚圆究竟自转了几圈.
（教师演示完整个过程）
师：同学们观察，最后转了几圈？
生齐：2圈.
师：因此，刚才同学们的结果确实是“伪成功”. 陈万同学这个集体虽然势单力薄，但是感觉良好. （生笑）我们很多同学感觉欠佳.
（课件云图接连变换以下文字：确实是2圈. 怎么与想的不一样？这究竟是怎么回事呢？）
师：要解决这个问题，我们要从最基本的问题开始研究.
■ 探究分析
环节一
师：请同学们翻到课本127页，解答随堂练习第2题.
（如图4，一枚半径为r的硬币沿直线滚动一圈，圆心经
过的距离d是多少？）
（学生稍事思考后）
师：这道题很简单，可以大胆地说，多少？
生齐：πd.
师：嗯，πd，d是什么？
生齐：直径.
师：直径，如果用半径说呢？
生齐：2πr.
师：（演示滚动）对，2πr. 圆心移动的距离为什么是2πr，你能不能做出解释？（学生沉默）（图上出示滚动前后圆心连线o■o■，如图5）文德美同学，你能不能说一说？
（文德美站立，无语）（教师提示）
师：图5中，图形o1abo2是什么图形？
生齐：长方形.
师：长方形，对，也叫矩形. 为什么是一个长方形呢？（学生稍事思考）文德美同学，你能不能说明理由？
生文德美：（略作思考）因为圆与直线相切，所以图形是矩形.
师：很好，不过没有陈述清楚.
师：两圆与直线相切，o■a，o■b与ab有什么关系？
生齐：垂直.
师：因此，o■a，o■b有什么关系？
生齐：平行.
师：很好，它们除了平行，大小还有什么关系？
生齐：相等.
师：对，它们都是圆的半径，因此相等. 它们既相等又平行，所以这个图形是——
生齐：平行四边形.
师：对，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 又由于这个角是直角（指角∠o■ab），因此这个图形是——
生齐：矩形.
师：矩形的对边相等，所以，o■ o■等于ab. ab又等于什么？
生齐：圆的周长.
师：为什么呢？
生齐：因为圆滚了1圈.
师：好，所以说，圆心经过的距离d=2πr. 这是基础，有这个认识，我们就可以解决前面提出的问题. 当然，中间的过程很奇妙. 把这个问题变换一下，看下面的问题：（如图5），线段ab=2πr，一个半径为r的圆从a滚动到b，圆自身转了几圈？圆心经过的距离d是多少？？摇
■
（板书：圈数、路线长）
（零星声音：1圈）
师：1圈，同学们回答得不理直气壮.
下面，我们同样可以动手探索一下. （学生准备动手）同学们先不要动手，先听老师分析.
师：先要得到什么？
生齐：直线.
师：得到一条直线？
生齐（自纠）：线段.
师：对，得到一条线段ab，ab多长？
生齐：2πr.
师：那么怎样得到一条长为2πr的线段呢？（略停顿）当然，这个2πr是针对你的圆而言.
生齐：计算.
师：计算行吗？（部分学生喊不行）可以，量出直径，就可以计算出周长. 但，还有更快的方法，怎么办？（下面一位学生在说方法）好，这位同学在喊（示意），肯定有他的方法. 说一说你的方法.
生6：可以让圆在直线上滚1圈.
师：很好，让半径为r的圆在直线上滚动1圈，就可以得到长为2πr的线段. （教师黑板上演示，提醒圆必须与直线相切，提示圆滚动时用三角板与直线相靠，演示完后）同学们按老师的方法操作.
（学生动手画长为2πr的线段ab，教师巡视，提醒学生圆不要滑动，要画准确，过一会还要用. ）
师：画好后，同学们再研究刚才的问题.
（教师继续巡视，观察学生动手，询问经过，大多数同学结束后，继续）
师：好，同学们注意了，我们交流一下结果. 圆滚了几圈？
生齐：1圈.
师：很好，只转了1圈. 这个问题很简单，根据我们刚才画长为2πr的线段的过程，也可以看出. （屏显滚动过程）那么，圆心经过的距离是多少呢？
生齐：2πr.
师：为什么？
生齐：圆心移动的距离与ab一样长. （屏显圆心移动的轨迹）
师：对的，圆心移动的距离为2πr.
（教师板书：——？摇1圈，2πr）
环节二
师：好，下面我们再把这个图形做一个变化. （屏显：如图6，线段ab=2πr，把它折为相等的两段，并且垂直. 一个半径为r的圆从a滚动到b，圆自身转了几圈？圆心经过的路线长是多少？）（师边读题边说明）还是先自己猜一猜，看哪些同学的感觉好一些.
■
（学生私下议论）
师：这位同学（示意），你来说一说.
生7：1圈.
师：好，你说（示意被问同学）
生8：1圈.
师：为什么是1圈呢？（有同学回应因为ab还是一样长）对，ab还是长为2πr. 那么，究竟是不是还是滚1圈呢？同学们还是先动手实验.
师：（部分学生准备动手，教师提醒）同学们先不要动手，先分析一下怎样得到折线acb？（黑板上演示）先量出ab的——
生：长度.
师：对，先量出ab的长度，再找到ab的中点（标上c），然后把这一段擦去（指线段），再画cb与ac垂直，且与原来的cb相等. 同学们按老师的方法，先画出折线acb，再动手实验.
（学生动手实验，教师巡视，提醒学生折线的长度不能画错，大多数小组画完后）
师：同学们停下，滚圆如何滚，老师教同学们一个方法（黑板演示），用三角板的直角对准这个角，两直角边与折线重合，滚圆靠在三角板的边缘滚动. 下面自己动手操作.
（学生两人配合，用三角板靠线进行滚动实验，教师巡视，提醒：原箭头朝下，滚结束后，箭头又朝向哪个方向. 学生大致滚完后）
师：还是不是1圈？
生齐：不是.
师：1圈多一点？？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇
生齐：对.
师：1圈半？
生齐：不是.
师：那究竟是比1圈多多少？
生齐：多点点.
师：点点是多少？好，请同学们观察老师的演示.
（实物展示圆的滚动过程，边滚边互动，如图7）
■
师：圆滚到这儿（与ac相切于c点时），滚了几圈？
生齐：半圈.
师：很好，因为ac等于πr，为半圆长，所以滚了半圈. （演示圆翻直角）这时接触点不变，圆自身在转没有？
生齐：在转.
师：转到这儿（与cb相切于c点时），圆自身已经转了多少圈？
生齐：■圈.
师：（继续演示滚动，当箭头朝下时）圆滚到这儿，已经滚了多少圈？
生齐：1圈.
师：但是折线acb滚完没？
生齐：没有.
师：（继续演示滚动到与cb相切于b时）这时箭头朝哪个方向？
生齐：朝左.
师：圆滚动了多少圈？
生齐：一又四分之一圈.
师：对，1.25圈. （板书：1.25）那么，圆心经过的路线长是多少？注意教师的措辞，不是圆心移动的距离，而是路线长. 圆心移动的路线长是多少？敢不敢猜一猜？
师：（某生喊：我来猜）好，你来猜.
生：2.5圈.
师：路线长会是2.5圈？（生窃语：错）错，那你说是多少
？（示意刚才窃语者）
生：2πr+2r.
师：2πr是怎样得来的？
生：ac+bc的长.
师：对，ac和bc的和是2πr. 那么，2r呢？（拖长音，暗示不对）再加2r对不对？（屏显图8）要知道圆心移动的路线长，关键要知道圆心移动的路线. （指屏幕）圆心移动的路线是不是这一条线？
■
生齐：是.
师：它是2πr加多少？是不是这一段圆弧的长？（指向圆弧）
生齐：是.
师：那是多少？（生窃语：■πr）同学们记不记得弧长的计算公式？
生齐：■.
师：对，■，这儿n是多少？
生齐：90.
师：对，这是个直角，n为90. （板书计算过程：■=■πr）因此，圆心移动的路线长为——
生齐：2.5 πr.
师：2πr加■πr等于2.5πr（教师板书：2.5πr）.
环节三
师：（课件出示图9）同学们再来研究下面这种情况：线段ab=2πr，把它折为相等的四段，围成一个正方形. 一个半径为r的圆从a滚动再回到原来的位置，圆自身转了几圈？圆心经过的路线长是多少？（教师边读题边屏显线段ab围成四边形的过程）同学们先自主分析，可以不通过操作，刚才教师已经讲过方法. 当然，你不会分析的话，也可以先操作再分析.
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（学生分析研究，教师巡视，部分小组得出结论）
师：圆自身转了几圈？
生：（自由回答）1圈多，2圈.
师：是2圈的同学举手. （有10余位学生举手）很好，你们很能干. 2圈是正确的（板书：2圈）. 好，我们再观察一下圆的滚动.
（屏显圆的滚动过程，如图10，边滚边说明——滚过线段和角时）
■
师：转了几圈？
生齐：■圈.
师： 又转了几圈？？摇？摇？摇
生齐：■圈.
师：又转了几圈？
生齐：■圈.
师：又转过几圈？
生齐：■圈.
师：合起来几圈？
生齐：1圈.
师：（屏显滚完）又转了几圈？
生齐：1圈.
师：共转了几圈？
生齐：2圈.
师：好，圆自身转了2圈. 那么，圆心移动的路线长是——多少？（重音）
生齐：4πr.
师：对，4πr. 怎样计算，关键是找出什么？
生齐：公式.
师：公式？（不认可语气）
生齐：规律.
师：规律. 嗯，这儿要求圆心转过的路线长，就要知道圆心转过的——（拖长音）路线.
（屏显圆心转过的路线，图11）
■
师：圆心转过的路线是不是这一条路线？
生齐：是.
师：直的部分合起来是多少？
生齐：2πr.
师：圆弧部分合起来是多少？
生齐：2πr.
师：因为它们合成了一个——
生齐：圆.
师：一个半径为多大的圆？
生齐：r.
师：所以说圆心移动的路线长为——
生齐：4πr.
（板书：4πr）
环节四
师：离我们最后解决问题只有一步之遥了，为了加深理解，下面我们再变一下. （课件出示图12、图13，教师读题）线段ab=2πr，把它折为相等的三段，围成一个等边三角形；把它折为相等的六段，围成一个正六边形；一个半径为r的圆从a滚动再回到原来的位置，圆自身转了几圈？圆心经过的路线长是多少？女同学研究围成三角形的情况，男同学研究围成六边形的情况，过一会我们再交流，看男同学能干还是女同学能干.
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（学生分析研究，教师巡视，发现很多同学不会分析）
师：好，很多同学不知道如何分析，教师再引导同学们一下. （屏显绕三角形圆的滚动过程）圆自身转了几圈？
生齐：2圈.
师：（屏显圆心移动的轨迹）圆心转过的路线长是——
生齐：4πr.
师：我们再来看看滚六边形的情况. （屏显分析绕六边形时圆的滚动过程）圆自身转了几圈？
生齐：2圈.
师：（屏显圆心移动的轨迹）圆心转过的路线长是——
生齐： 4πr.
师：好，再把六边形变成圆. （屏显问题：如果线段ab=2πr，把它围成一个圆. 一个半径为r的圆从a滚动再回到原来的位置，圆自身转了多少圈？如图14）
■
师：转了几圈？大声说.
生齐：2圈.
师：为什么是2圈呢？我们来分析. 前面的问题中，变化中有一个不变性，什么没有变化？
生齐（迟疑）：ab的长.
师：对，ab围成的图形在变，但周长没有变化. 这儿圆的周长还是——
生齐：2πr.
师：所以滚圆还是滚了——
生齐：2圈.
（板书：2圈，4πr）
■ 规律总结
师：（先出示最初问题：如图1）通过前面的分析，同学们应该很容易解决这个问题了. 转了几圈？
生齐：2圈.
师：当然，这不是计算解决，而是与前面的问题比较直接得出的结论. 那么究竟如何计算解决这个问题呢？同学们根据教师的板书分析一下，前面的例子中，圆自身转的圈数与圆心经过的路线长d有什么关系？
（学生根据教师的板书分析，稍后）
师：（教师示意）这位同学，说说你的看法.
生：圆自身转的圈数越多，圆心经过的路线长也就越大.
师：是不是这样？
生齐：是.
师：很好，那么它们之间有什么明确的数量关系呢？
生齐：圆滚动的圈数等于圆心经过的路线长d除以2πr.
师： 2πr是什么？
生齐：滚圆的周长.
师：总结得很好，也就是说，圆滚动的圈数等于圆心经过的路线长d除以滚圆的周长. 为什么是这个关系，同学们下来可以继续思考. 有了这个认识，我们就可以计算并解决前面的问题了.
■ 问题解决
师：同学们观察，滚圆圆心移动的路线是怎样一个图形？？摇
生齐：圆.
师：（图上添加圆心字母o，半径r）怎样一个圆呢？
生齐：以o为圆心、r为半径的圆.
师：是以r为半径的圆吗？
生齐：是以o为圆心、2r为半径的圆.
师：好，同学们，现在怎样计算圆滚的圈数，知道了吗？
（学生计算）
教师课件展示如下计算过程：
因为滚动的硬币圆心移动的路线是以o为圆心、2r为半径的圆，所以滚动硬币圆心移动的距离d=2π·2r= 4πr. 所以硬币滚动的圈数为■=2圈.
■ 问题拓展
师：圆满解决了这个问题，下面我们再看一个拓展问题.（课件展示）如图15，大圆的半径为2r，两个小圆的半径为r，两个小圆各在大圆内、外沿圆周滚动，内外圆滚动的圈数相等吗？（学生计算，然后收集学生意见）
■
生：滚动的
圈数不相等，相差2圈.
师：很好，请同学们看下面的解题过程，与自己的比较一下.
（课件展示解题过程）
因为外圆的圆心移动的路线是以o为圆心、3r为半径的圆，所以外圆圆心移动的距离d=2π·3r= 6πr. 所以外圆滚动的圈数为■=3. 因为内圆的圆心移动的路线是以o为圆心、r为半径的圆，所以内圆圆心移动的距离d=2πr. 所以内圆滚动的圈数为■=1. 所以两圆滚动的圈数相差2圈.
师：作为练习，同学们再自主研究下面的问题，看有什么想法.
（课件展示问题）
如图，大圆的半径为3r，两个小圆的半径为r，两个小圆各在大圆内、外沿圆周滚动，内、外圆滚动的圈数各是几圈？相差多少？你有什么猜想？
■ 课后反思
1. 多年前，《数学通报》杂志刊发过一篇文章《关于一道课本错题的分析》，就是该案例中的拓展问题. 作者认为内、外圆滚动的圈数一样，并做了分析. 由于该分析与教者当时的观点一致，所以很关注. 但后一期该杂志又发表了商榷文章，认为前文的分析没有搞清“滚动”与“滑动”的区别而未分析正确，并指出这是一道好题. 由于商榷文章没有仔细解答该问题，当时，教者也是云里雾里不明白. 直到本次教者研究前述问题的解答，才明白这一道课本“错题”确实不错，安排在此次探究解决初始问题后作为练习.
