摘要:空间角是立体几何中一个重要概念，它是空间图形的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现。解决立体几何问题的关键在于“三定”：定性分析→定位作图→定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位、定性的深化。在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般来说，对其平面角的定位是问题解决的先决一步，故对二面角的平面角的定位是关键。
关键词:平面角；定性分析；定位作图；定量计算;点;垂线段;垂平面positioning analysis on the dihedral angle of
二面角的平面角的特征
α、β是由 出发的两个半平面,o是l上任意一点，oc α，且oc⊥l；cd β，且od⊥l。这就是二面角的平面角的环境背景，即∠cod是二面角α-l-β的平面角。
它有如下列特征：
（１）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；
（２） 其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；
另外，若在oc上任取上一点a，作ab⊥od于b,则由特征（２）知ab⊥β.通过l、oa、ob、ab，之间的关系，便得到另一特征；
（３）：体现出三垂线定理（或逆定理）的环境背景。WwW.11665.CoM
2二面角的平面角的特征剖析
由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。
特征（１）表明：其平面角的定位可先在棱上取一“点”，但这点必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。
特征（２）指出：如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ与 α、β的交线，则交线所成的角即为α-l-β的平面角，：
由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。
特征（３）显示：如果二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段ab，由ｂ作ob⊥l于ｏ，连oa，由三垂线定理可知oa⊥l；或由ａ作oa⊥l于ｏ，连ob。由三垂线逆定理可知ob⊥l。此时，∠aob即为二面角α-l-β的平面角。
由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”．
以上三个特征提供的思路在解决具体问题时各具特色，其目标是分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而至．掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。
3二面角的平面角的定位分析
［例1］：已知ｅ是矩形abcd边cd的中点，且，cd=２，bc=１，现沿ae将△dae折起至△d′ae，使得d′到b、c两点的距离相等，求二面角d′-bc-a的大小。
解析：取ae中点p，bc中点q．则可得pq⊥bc，又由d′b= d′c，得d′q⊥bc，
∴∠d′qp是二面角d′-bc-a的平面角。
&
nbsp; 经计算得：∠d′qp＝ 23
找“点”，由定义确定二面角的平面角。
［例２］：矩形abcd，ab=3，bc=4，沿对角线ac把△abc折起，使点b在平面adc内的射影b′ 恰好落在ad上，求二面角b-ac-d的大小。
解析：这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。
在平面图形中过ｂ作be⊥ac交ac于o、交ad于e，则折叠后ob、oe与ac的垂直关系不变．但ob与oe此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱ac垂直。由特征（２）知，面boe与面bac、面dac的交线ob与oe所成的角∠boe，即为所求二面角的平面角。
另外，点b在面dac上的射影必在oe所在的直线上，又题设射影落在ad上,所以e点就是b′点，这样的定位给下面的定量提供了便捷条件。
经计算：ob=ab·bcac=3×45=125 ，ao=ab2ac=95 ，oe=ao·cdad=2720 ，
在rt△beo中，设∠boe＝θ ，则cos θ=oeob=916，
∵0°＜θ＜180° ，∴θ=arccos916 ，
即所求二面角b-ac-d为arccos916 ，
通过对［例2］的定性分析、定位作图和定量计算，由特征（２）从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，依题目条件，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相呼映，不仅便于定性、定位，更利于定量。
由“垂线段”定位二面角的平面角。
［例3］：已知 二面角α-a-β为 ，pa⊥α于a，pb⊥β于b，且pa＝８cm，pb＝10cm．求ｐ点到a的距离。
解析：过pa 、pb作平面γ，分别与α、β交于ao、bo，
由pa⊥α，aα，知pa⊥a，又由pb⊥β，a β，知pb⊥a，因此，a⊥平面γ ，
∵ao ，bo ，∴a⊥ao， a⊥bo，
∴∠aob为二面角α-a-β的平面角，即∠aob＝120°，
连po，由po，得a⊥po．∴po的长为p点到a的距离。
经计算：ao ＝43 （cm），po＝pa2+ao2=82+（43）2=47 （cm）．
由棱的“垂面”定位二面角的平面角。
［例４］：在正方体abcd-a′b′c′d′中，棱长为2，e为bc的中点．求面b′d′e与面bb′c′c所成的二面角的大小。
解析：面b′d′e与面bb′c′c构成两个二面角，由特征（２）知，这两个二面角的大小必
定互补．通过特征（３）,我们只须由c′ (或d′)作b′e的垂线交b′e于h，然后连结hd′ (或hc′),即得面b′d′e与面bb′c′c所成二面角的平面角∠c′hd′(三垂线定理)。
经计算可得：ｈ′c′＝455 ，在rt△d′c′ｈ中， ∠ｄ′ｈｃ′=d′c′h′c′ =52，
故所求的二面角角为arctan52 或π-arctan52 ．
二面角的三个特征，虽然客观存在，互相联系，但在许多问题中却很难通过直观图反映出来，这就需要我们培养良好的空间思维想象能力，正确定位。
［例５］：在正方体abcd-a1b1c1d1中，ｅ是cc1的中点，求截面ad1e与底面abcd所成角的正切值。
解析：图中截面ad1e与底面abcd只给出一个公共点，没有直接反映出二面角的棱，因此还需找出它与底面的另一个公共点．通过补形作出棱，进而再求二面角的大小。
延长dc、d1e交于f，连af，得截面ad1e与底面abcd相交所得棱af，af交bc于g，过c作ch⊥af于h，连eh，
∵ec⊥面abcd，ch⊥af，∴eh⊥af（三垂线定理）
∴∠ ehc即为所求截面ad1e与底面abcd所成二面角的平面角．
可设正方体棱长为a，经计算得：ec＝cg＝a2 ，cf＝a，gf＝52a ，ch＝ ，55a
∴tan∠ ehc＝ecch=52，
即所求二面角的正切值为52．
［另］：△d1fａ在底面abcd的射影是△dｆa，
s△dfa=12df×da=a2 ，又d1a＝2，s△d1fa =12d1a×322a=32a2，
由射影面积法，所求角（记为 θ）的余弦值为cosθ=s△dfas△d1fa=23，
则所求二面角的正切值为52 。
［另］：还可用向量法求二面角的平面角。
定位是为了定量，二面角的计算是通过其平面角所在的三角形计算而得．而作平面角也是由其基本定义出发，在棱上找一点，在半平面内找一点，或在二面角内找一点，从这点出发作棱的垂线或垂面而得。如果二面角的棱在图中没有出现，可采取补形等办法作出二面角的棱。
综上所述，二面角其平面角的正确而合理的定位，要在其正确其定义的基础上，掌握其三个基本特征，并灵活运用它们考察问题的环境背景，建立良好的空间思维，以不变应万变。
论文网在线
