以下是几个有规则的分形图形：
　　冯科克曲线（van koch’s curve）是瑞典数学家赫尔奇·冯·科克在1904年创造的。具体生成的方法是：把等边三角形的每一条边三等份，去掉中间的三分之一，在被去掉线段处向外做出两边为此线段三分之一的尖角；重复这一过程以至无穷。其形状类似雪花，又名雪花曲线。冯科克曲线具有独特的数学性质：处处连续，但处处不可微；长度无限，面积为零（见图1）。
　　希尔宾斯基三角形（sierpinski pyramid）由正三角形不断去掉中间占四分之一面积的正三角形得到。可以证明，希尔宾斯基三角形的面积也为零（见图2）。
　　康托尔集（cantor set）生成方法为：从单位区间[0，1]出发，三等分并去掉中段，得e1，将e1两个区间继续三等分并去中段得e2，以此类推，所得极限集合为cantor集。其由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入。康托尔集的一个典型性质是点数无限，但长度为零（见图3）。
　　（三）分形理论产生的意义
　　分形理论的产生，对于人们正确认识和改造世界具有重要的方法论意义。在深刻理解整体与局部的辩证关系方面，分形理论与还原论的方法和实质并不相同，前者是对后者的有力补充和突破（李后强，1993；李后强、汪富泉，1992；王世进，2006）。
　　还原论认为，整体是由部分组成的，部分包含在整体之中；部分相加可以构成整体，整体大于部分。微积分中求不规则图形的面积就充分体现了这一思想。不过，还原论将部分转化为整体的过程是机械的、静态的，这是还原论的局限性。
　　分形理论认为，部分以与整体相似的方式存在于整体之中，部分可以反映整体。同时，分形理论提供了部分到整体的生成规律、形成方式。分形理论体系中的有限和无限关系是建立在数学理论基础上的，并非简单的哲学思辨。它融进了整体方法、非线性方法、非解析方法、概率论方法等，正确地理解了数学的可分割和物理的可分割、思维的可分割与物质可分割之间存在的辩证关系。
　　综上可知，在分析事物整体与局部的关系时，还原论是基于线性研究的，把复杂问题简单化。分形论为研究复杂问题提供了一种工具，在认识论上进步到非线性层次，从更深的层面揭示了整体与部分的关系，进一步深化了科学哲学中的普遍联系和世界统一性原理。
　　分形理论在我国的发展现状论文联盟http://
　　经过40多年的发展，分形理论已成为非线性科学研究中的重要分支之一。
　　分形理论在国外的研究于20世纪末就有重大突破，并且已将理论成果付诸实践中。好莱坞影片《星球大战》中，就使用了分形技术。
　　我国的分形理论研究在最近20多年才开始。1989年4月，中科院国际材料物理中心为推动分形理论研究而特别举办了分形学习班。曾任该中心主任的龙期威教授关于“分形和固体断裂”的研究在当时处于国际先进行列，并完成了两本比较有影响力的专著：《金属中的分形与复杂性》（上海科学技术出版社，1999年）、《金属的力学性质：原子观点、分形和连续介质方法》（与英国n.hmarch合著，英文）。
　　1989年7月，由四川大学、北京大学等高等院校组织召开了第一届“全国分形理论及应用学术讨论会”。其后，第二届和第三届会议分别于1991年11月在武汉华中理工大学、1993年10月在合肥中国科技大学召开。第四届会议于2011年底在东北大学召开。该研讨会为分形理论在我国的传播和发展做出了巨大贡献。
　　在科研支持方面，1991底，中国国家攀登计划（“八五”计划：1991-1995）首次启动了“非线性科学”研究项目。1993年，国家自然科学基金申请指南中，首次列出“分形理论及其应用”的研究内容，此后每年都资助若干有关项目的研究。
　　综合来看，分形理论在我国发展的特点是起步晚、发展快、理论与应用并举。大家自始就比较重视理论基础和实际应用相结合。重庆大学的孙隶华教授等研究了“分形理论在制造决策模型实验数据建模中的应用”；北京科技大学的吕志民等研究了“分形维数及其在滚动轴承故障诊断中的应用”，将分形维数作为识别滚动轴承故障的特征量；上海交通大学的汪慰军研究的“关联维数在大型机组故障诊断中的应用”，提出了将分形理论用于故障诊断的技术路线及基本计算方法。
　　分形理论应用于资本市场研究综述
　　分形理论除应用于自然科学领域外，近年来也广泛应用于社会科学领域。实际上，在公司财务和资本市场研究方面，已有学者试图用分形理论重构市场基础，并在此基础上获得一些投资绩效测算和评估的新方法和新结论。
　　（一）分形市场理论形成与辨析
　　分形（fractal）一词源于拉丁语“fractus”，意为“碎化、分裂”等。peters（1991；1994）首次将分形应用于资本市场，通过分析有效市场假说在理论和实践中的不足，突破了有效市场理论的独立、线性、正态、静态等假定，是分形理论在金融市场中的直接应用。
　　国内学者樊智等（2002）在系统回顾emh的内涵并指出其存在不足的基础上，将分形理论引入到金融市场效率研究领域中，分析了分形时间序列的经济涵义并提出分形市场理论的意义。黄诒蓉等（2006）认为emh无法解释资本市场具有的实际特性，指出分形市场假说框架下的分形结构特征更能有效地解释资本市场的实际特性，分形方法是认识资本市场的有效非线性工具。
　　（二）分形理论在资本市场的应用
　　分形理论在资本市场中的应用尚处于初级阶段，目前形成的研究成果并不系统。
　　国外学者triki mohamed bilel&selmi nadhem（2009）以g7股票市场数据为样本，采用分形检验与修正r/s分析法研究发现，股票市场具有正的长记忆性；siow-hooi tan， lee-lee chong， peik-foong yeap（2010）以1985年1月-2009年12月马来西亚股票牛熊市场数据，采用同样的方法进行分析，实证结果表明：在早期—尤其1997年金融危机之前，股票市场具有长记忆性，可以一定的概率对股票价格进行预测。